Quelle méthode itérative peut résoudre efficacement un système linéaire avec ce type de spectre

J'ai un système linéaire avec une matrice dont les valeurs propres sont uniformément réparties sur le cercle unitaire comme ceci:

entrez la description de l'image ici

Est-il possible de résoudre ce type de système efficacement par méthode itérative, peut-être avec un préconditionneur?

linear-algebra iterative-method preconditioning faleichik
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Je pense que MINRES le fera, même si je ne connais qu'un résultat similaire pour un spectre réel. En savez-vous plus sur la matrice (en particulier, est-ce normal)?

Christian Clason

Jetez également un œil à page.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

Christian Clason

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$

@ChristianClason dans le cas général, la matrice n'est pas normale. Il a une certaine structure en blocs et est clairsemé. Merci pour la référence!

faleichik

Si la matrice est très anormale, ma suggestion de CGNE est fausse, mais ce document devrait être un bon début. La bibliothèque PETSc possède à peu près tous les solveurs sous-spatiaux Krylov sous le soleil, vous pouvez donc tous les essayer et voir celui qui fonctionne le mieux. Il y a aussi une interface Python pour cela, ce qui rend les choses beaucoup plus pratiques.

Daniel Shapero

Réponses:

La matrice est très bien conditionnée, donc GMRES (k) devrait fonctionner correctement sans préconditionneur.

Arnold Neumaier
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Bien que la matrice soit bien conditionnée, cela n'implique pas nécessairement que GMRES converge bien. Exemple d'octave (Matlab): `n = 100; A = œil (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); condition_number = cond (A), b = œil ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, flag, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); fermez tout; semilogy (resvec); figure; plot (eig (A ), "."); `

wim

A

$A$