Comment les ondelettes peuvent-elles être appliquées à la PDE?

Je voudrais savoir comment les méthodes d'ondelettes peuvent être appliquées à la PDE, mais malheureusement je ne connais pas de bonne ressource pour en savoir plus sur ce sujet.

Il semble que de nombreuses introductions aux ondelettes se concentrent sur la théorie de l'interpolation, par exemple, l'assemblage d'un signal par une superposition de préférence de quelques ondelettes. Les applications aux PDE sont parfois mentionnées, sans approfondir ce sujet. Je suis intéressé par de bons articles récapitulatifs pour les personnes qui ont vu un WFT mais qui n'ont plus de connaissances sur ce sujet. Un bon résumé serait également intéressant, bien sûr, si vous pensez que cela peut être fait.

Je suis particulièrement intéressé à avoir une idée du type de questions qui apparaissent généralement. Par exemple, je sais que les éléments finis sont généralement appliqués à un PDE sur un domaine borné avec une limite de Lipschitz, qui sont les questions typiques dans le choix de l'espace ansatz (conforme, non conforme, géométrie et combinatoire), comment la théorie de la convergence est établie ( en fait, la théorie de Galerkin ne devrait pas être si différente pour les ondelettes), et j'ai une certaine intuition quant aux choses mathématiques réalisables dans les implémentations. Une telle perspective à vol d'oiseau sur les ondelettes pour PDE serait très utile pour moi.

Les ondelettes ont de belles propriétés d'approximation multi-résolution, mais ne sont pas particulièrement populaires pour résoudre les PDE. Les raisons les plus fréquemment citées sont la difficulté d'imposer des conditions aux limites, le traitement de l'anisotropie non alignée, l'évaluation des termes non linéaires et l'efficacité.

Les ondelettes ont été les premières à obtenir des résultats de convergence forts pour des méthodes entièrement adaptatives (voir Cohen, Dahmen et DeVore 2001 et 2002 ). Cependant, cette théorie cruciale a été rapidement suivie par Binev, Dahmen et DeVore (2004) qui ont prouvé un résultat similaire pour les méthodes adaptatives par éléments finis qui sont plus populaires pour les problèmes PDE traditionnels en dimensions modérées. Les bases d'ondelettes sont populaires pour les problèmes de dimension supérieure tels que les méthodes de tenseurs clairsemés pour les PDE stochastiques Schwab et Gittelson (2011) et cette discussion .

Les opérateurs différentiels ont un nombre de conditions borné lorsqu'ils sont exprimés en bases d'ondelettes et préconditionnés avec Jacobi (ainsi les méthodes de Krylov convergent en un nombre constant d'itérations indépendant de la résolution). Cela est lié aux méthodes hiérarchiques multigrilles de Yserentant (1984), Bank, Dupont et Yserentant (1988) et d'autres. Notez que les méthodes multigrilles multiplicatives ont des propriétés de convergence supérieures aux méthodes additives. Un cycle V multigrille standard est essentiellement équivalent à un Gauss-Seidel symétrique standard dans la base d'ondelettes avec l'ordre habituel. Notez que c'est rarement la meilleure façon de l'implémenter, surtout en parallèle.

$\mathcal H$

Les opérateurs différentiels sont relativement plus chers à évaluer dans les bases d'ondelettes et il peut être difficile d'établir les propriétés de conservation souhaitées. Certains auteurs (par exemple Vasilyev, Paolucci et Sen 1995) ont recours à des méthodes de collocation et utilisent des pochoirs à différences finies pour évaluer les dérivés et les termes non linéaires. Si l'expansion des ondelettes est bloquée (généralement bonne pour l'efficacité de calcul), ces méthodes deviennent très similaires à la RAM structurée en blocs.

Je suggère Beylkin et Keizer (1997) comme une introduction pratique à la résolution des PDE avec des ondelettes. Le code MADNESS est basé sur ces méthodes. Il prend en charge les limites immergées (voir Reuter, Hill et Harrison 2011 ), mais n'a aucun moyen efficace de représenter les couches limites dans une géométrie compliquée. Le logiciel est souvent utilisé pour des problèmes de chimie dans lesquels la géométrie n'est pas un problème.

Pour une analyse numérique générale des ondelettes, je suggère le livre de Cohen de 2003 . Il présente un cadre d'analyse dans lequel la solution de continuum est manipulée jusqu'à ce que vous souhaitiez l'évaluer avec une précision donnée, point auquel la base d'ondelettes est évaluée si nécessaire.