Dérivation pour l'estimation de la fréquence naturelle du pont dans les Eurocodes

Les Eurocodes donnent l'équation suivante pour estimer un "pont simplement supporté soumis à la flexion uniquement" *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Où

• $n_0$ est la fréquencepropre en hertz
• $\delta_0$ est la flèche à mi-portée sous actions permanentesen mm

L'équation est apparemment tirée de l'air mince, et il n'y a aucune explication quant à l'origine de la constante 17,75. En tant qu'ingénieur, je répugne à utiliser une formule que je ne comprends pas, mais plus que cela, il serait utile d'en apprendre les principes fondamentaux pour que je puisse voir si elle peut être modifiée pour fonctionner avec d'autres conditions de support.

Quelqu'un peut-il fournir une dérivation / origine fondamentale à cette relation?

* La référence complète est: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Note 8] (équation 6.3), si cela peut aider.

Si nous simplifions l'ensemble du pont en faisceau mince 2D avec une taille de section constante, sans amortissement interne et soumis uniquement à de petites déviations verticales, alors la fréquence naturelle est déterminée par un simple mouvement harmonique:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Où est la fréquence naturelle, k est le rapport entre la force de restauration et la déflexion (la «raideur élastique» équivalente) et m est la masse par unité de longueur de la poutre.$n_0$$k$$m$

Dans une poutre, la force de restauration est le cisaillement interne provoqué par la forme déviée. Comme la force présentée par une poutre est proportionnelle à la vitesse de changement de cisaillement, qui est liée à la rigidité ( ) et à la vitesse de changement de moment, elle peut être affichée (remarque: la flèche est proportionnelle à la longueur de la faisceau) qui:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

Où est le module d'Young du matériau du faisceau, I est le deuxième moment d'inertie de la section du faisceau, L est la longueur du faisceau et $E$$I$$L$$\alpha$ est une constante déterminée par les conditions de support et le numéro de mode de la réponse.

Toute la littérature que j'ai vue exprime cela d'une manière plus pratique pour l'équation de fréquence:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Substitution de retour dans,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

Le calcul de la valeur de est assez complexe, et il existe une approche exacte pour des solutions simples et des méthodes approximatives, notamment la méthode de l'énergie libre et Raleigh Ritz. Quelques écarts pour un faisceau simplement supporté peuvent être trouvés ici .$K$

Il convient de noter que cette équation aurait été suffisante, mais comme elle nécessite un tableau pour et le calcul d'une valeur de E I qui représente le pont comme un faisceau homogène, les auteurs de l'Eurocode semblent avoir décidé qu'elle serait mieux réintégrer l'hypothèse que k est constant le long du faisceau.$K$$EI$$k$

Pour ce faire, ils ont utilisé la relation suivante:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

Où est la flèche maximale, C est une constante dictée par les conditions de support, $\delta_0$$C$$w$ est une charge uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre.

Sous poids propre , où g est l'accélération due à la gravité (9810 mm / s ² ; comme la flèche dans cette équation est donnée en mm$w = gm$$g$ ).

Par conséquent (réorganisé :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Et donc:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Les valeurs générales pour et C peuvent être trouvées dans les tableaux structurels - par exemple ici et ici$K$$C$ , respectivement.

Pour une poutre simplement supportée:

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Voici une réponse possible.

J'ai trouvé ce document (pas sûr de la source exacte), qui contient une dérivation associée:

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Il y a plus d'informations à ce sujet dans le livre de Ladislav Fryba "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Si vous lisez le chapitre 4, vous verrez la formule 4.53 à la page 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Cette équation découle de la formule de la déviation médiane d'une poutre simplement supportée chargée par une charge uniformément répartie μg

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

qui est substitué dans

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

La substitution de ces équations les unes aux autres en utilisant g = 9,81 m / s ^ 2 donne

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

L'évaluation numérique de cette équation donne l'équation souhaitée.

La dynamique pour les ingénieurs comme moi, généralement concernés par la statique, peut être lourde d'erreurs faciles à faire et de malentendus. Cette formule est très utile pour les poutres simplement supportées car elle peut être liée rapidement aux charges de poids propre appliquées et à une proportion de charge vive (généralement 10%) sans avoir à entrer dans des complications.

Les cantilevers peuvent également utiliser une constante similaire (19,8 avec udl, 15,8 avec charge de point final). Tout se décompose avec des poutres et des cadres continus.

Je crée une vérification de fréquence naturelle avec toutes les conceptions de faisceaux pour en garder la trace. Pour les structures en bois, par exemple, 8 Hz est la cible et pour les sols en béton / cadres en acier 4-6 Hz - comme première passe.

Il existe également des méthodes approximatives et prêtes pour évaluer les réponses dynamiques. Je dois dire que la dynamique m'échappe et m'embrouille et le sera toujours! Je reste donc aussi simple que possible.