Pourquoi est-il impossible de créer un observateur pour ce système pas entièrement observable?

Considérons une masse ponctuelle 1D se déplaçant le long d'un axe. Une force est appliquée comme contrôle. Il n'y a pas de gravité ou d'autres forces impliquées. Le système peut être décrit dans les équations de l'espace d'états comme suit:$u$

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

Le système illustré est contrôlable, mais non observable. Pas même structurellement observable et certainement pas entièrement observable. Ainsi, il devrait être impossible de construire un observateur pour ce système.

Cependant, si je connais l'état initial du système, je peux à tout moment calculer l'état complet, c'est-à-dire en intégrant la sortie du système. Comment cela correspond-il au concept d’observabilité? Comment pourrais-je incorporer l'état initial dans les équations?

Je ne trouve pas l'erreur dans mon train de pensée, mais je suis certain qu'il y en a une. Dois-je mal comprendre l'observabilité?

L'observabilité signifie que vous pouvez estimer l'état complet en utilisant uniquement la sortie, sans connaître l'état initial. En d'autres termes, vous devez déterminer où vous êtes sans savoir où vous étiez au départ.

Une raison plus pratique pour laquelle cela fonctionne rarement est que lorsque vous êtes limité par des capteurs non parfaits et un temps d'échantillonnage non nul, la prise de l'intégrale de l'accélération entraînera des erreurs croissantes dans vos estimations de positions et de vitesse. Ainsi, même si vous connaissez l'état initial, vous en "perdrez la trace" avec le temps.