Trouver tous les membres en utilisant la méthode des articulations

Eh bien, j'ai du mal à trouver les forces en résumant les moments dans la figure 4.14, le problème est qu'il y a 3 charnières, ce qui signifie qu'il y a 4 forces inconnues. C'est un peu difficile de trouver les forces.

J'ai essayé de faire des recherches à ce sujet mais je ne trouve rien de semblable à celui-ci.
Avez-vous des conseils ou connaissez-vous le bon processus pour le faire?

Je n'ai vraiment pas besoin de la réponse spécifique à l'image ci-dessous, je veux juste savoir comment trouver les 4 forces inconnues.

Cette question est beaucoup plus simple qu'il n'y paraît. Puisqu'il a quatre supports (RX et RY en A plus RY en D et E), il semblerait que ce soit statistiquement indéterminé, mais ce n'est pas le cas.

Pour voir cela, comptons le nombre d'inconnues et le nombre d'équations que nous avons:

• 1 force axiale pour 10 bars = 10 inconnues
• 4 réactions ( , , , ) = 4 inconnuesA y d y e $A_x$$A_y$$D_y$$E_y$
• 2 équations ( , ) pour chacun des 7 nœuds = 14 équations∑ F y = $\sum F_x = 0$$\sum F_y = 0$
• Nombre d'équations = nombre d'inconnues, nous avons donc une structure isostatique (structure statiquement déterminée).

Une façon de résoudre ce problème serait de créer un système de 14 équations et de le résoudre. Cela fonctionnerait, mais personne n'a le temps pour ça .

Une façon beaucoup plus simple de résoudre ce problème consiste à observer qu'il s'agit en réalité de deux fermes, l'une à gauche étant supportée par l'autre à droite par le nœud en (un peu comme un faisceau de Gerber).$C$

Commençons donc par résoudre la structure à gauche, en plaçant un support en représentant l’effet de l’autre structure. De plus, puisque nous savons que la force horizontale à sera entièrement absorbée par , Appliquons cette force à . En raison du comportement Gerber-beam-esque de cette ferme, nous ne devons pas nous inquiéter du moment de flexion généré par le déplacement de la force de cette façon. Après tout, ce moment fléchissant n'aurait pas franchi la charnière en et la force elle-même aurait bien été transmise via , il n'y a donc aucun problème.G A x C C $C$$G$$A_x$$C$$C$$C$

C’est très simple, je ne vais donc pas vous expliquer comment calculer les forces internes de chaque barre, mais simplement calculer les réactions. Il est clair que les résultats sont , et .A y = 60  kN C y = 180 $A_x = -50\text{ kN}$$A_y = 60\text{ kN}$$C_y = 180\text{ kN}$

Nous passons maintenant à la ferme la plus à droite, où nous appliquons la valeur fictive de (et que la force horizontale en est toujours là!):$C_y$$G$

Ceci est également facile à résoudre pour les réactions:

$$\begin{align} \sum M_E &= -4D_y + 8\cdot180 - 3\cdot50 = 0 \\ \therefore D_y &= 322.5\text{ kN} \\ \sum F_y &= D_y + E_y - 180 = 0 \\ \therefore D_y &= -142.5\text{ kN} \end{align}$$

Compte tenu des réactions, la structure est également facile à résoudre pour les valeurs internes, ce qui reste donc un exercice pour le lecteur.

Voici un modèle informatique de la structure, ainsi que des modèles de fermes individuelles. Remarquez que je devais placer un RX fictif en pour que la ferme la plus à droite isolée soit stable aux forces horizontales. Ignorez donc sa réaction horizontale. Cela modifie également les valeurs de compression axiale de la membrure inférieure. Il suffit donc de soustraire 50 kN de la compression de ce modèle pour l'aligner sur la structure d'origine.$E$

En supposant que positif soit à droite, positif en haut et que toutes les barres soient en compression, nous pouvons écrire le bilan des forces pour chaque articulation. En fin de compte, si une force s'avère négative, cela signifie que la force de réaction est dans la direction négative ou , ou que la barre est en tension.$x$$y$$x$$y$

Joint A: Joint B : Joint F: Joint C: Joint D: Joint G:

$$A_x-F_{\text{AB}}-F_{\text{AF}} \cos (\theta ) = 0$$ $$A_y-F_{\text{AF}} \sin (\theta ) = 0$$ $$F_{\text{AB}}-F_{\text{BC}} = 0$$ $$-F_{\text{FB}}-120000 = 0$$ $$F_{\text{AF}} \cos (\theta )-F_{\text{FC}} \cos (\theta ) = 0$$ $$F_{\text{AF}} \sin (\theta )+F_{\text{FB}}+F_{\text{FC}} \sin (\theta ) = 0$$ $$F_{\text{BC}}-F_{\text{CD}}-F_{\text{CG}} \cos (\theta )+F_{\text{FC}} \cos (\theta ) = 0$$ $$F_{\text{CG}} (-\sin (\theta ))-F_{\text{FC}} \sin (\theta )-120000 = 0$$ $$F_{\text{CD}}-F_{\text{DE}} =0$$ $$D_y-F_{\text{GD}} = 0$$ $$F_{\text{CG}} \cos (\theta )-F_{\text{GE}} \cos (\theta ) +50000 = 0$$ $$F_{\text{CG}} \sin (\theta )+F_{\text{GD}}+F_{\text{GE}} \sin (\theta ) = 0$$ Joint E: $$F_{\text{DE}}+F_{\text{GE}} \cos (\theta ) = 0$$ $$E_y-F_{\text{GE}} \sin (\theta ) = 0$$

Je conviens que personne n’a eu le temps de résoudre ces équations. Tous mes calculs ont donc été effectués dans Mathematica pour obtenir les résultats suivants:

$$A_x=-50kN, \ \ \ A_y=60kN, \ \ \ D_y=322.5kN, \ \ \ E_y=-142.5kN$$ $$F_{\text{AB}}=-130kN, \ \ \ F_{\text{AF}}=100kN, \ \ \ F_{\text{BC}}=-130kN, \ \ \ F_{\text{CD}}=190kN, \ \ \ F_{\text{CG}}=-300kN$$ $$F_{\text{DE}}=190kN, \ \ \ F_{\text{FB}}=-120kN, \ \ \ F_{\text{FC}}=100kN, \ \ \ F_{\text{GD}}=322.5kN, \ \ \ F_{\text{GE}}=-237.5kN$$

1. Considérons l'ensemble du système: Ainsi: $$\sum x = H_A+50=0$$ $$H_A=-50$$
2. Considérons la partie gauche ABCF: Donc: $$\sum m_C=V_A\times 8-120\times 4=0$$ $$V_A=60$$
3. Considérons la partie droite CDEG: Ainsi: $$\sum m_D=V_E\times 4+(120+60)\times 4-50\times 3=0$$ $$V_E=-142.5$$
4. Considérons à nouveau le système entier: Ainsi: $$\sum y=V_D+V_A+V_E-120-120=0$$ $$V_D=322.5$$
5. Voulez-vous seulement trouver les 4 réactions inconnues? Si oui, les 4 étapes ci-dessus pourraient aider.

Ce qui se passe ici, c'est que vous avez une structure ressemblant à une structure hyperstatique ou statiquement indéterminée , mais ce n'est pas le cas. Puisque vous avez une charnière au milieu, vous obtenez une équation supplémentaire. Coupez votre structure à la charnière et résolvez vos réactions. Voici un exemple de vidéo sur youtube. Commencez par la ferme triangulaire gauche et avancez à droite.