Jeu répété à l'infini: le dilemme des prisonniers

J'ai fait la plupart des démarches, mais je suis resté à la limite du dernier obstacle. Pourriez-vous s'il vous plaît corriger mes erreurs?

Étant donné la condition je dois considérer le jeu répété à l'infini, où la forme stratégique ci-dessus est le jeu de scène. Le facteur de réduction: δ = $x>0$ .$\delta=\frac{1}{2}$

Je dois trouver une condition supplémentaire sur le jeu, telle que nous ayons un équilibre parfait de sous-jeu dans lequel les deux joueurs "coopèrent" à chaque période.

Ce que j'ai fait jusqu'à présent

Le profil des stratégies strictement dominées constitue la stratégie de coopération où x > 0 et x ≠ 1 .$(u,r)$$x>0$$x \ne 1$

La prescription (stratégie coopérative) sera donc $(u,r)=(x+1,x+1)$

Le sinistre déclencheur est $(d,l) = (x,x)$

Bénéfice d'obéir à la prescription:

$(x+1) + \delta(x+1) + \delta^2(x+1) +\delta^3(x+1)+... = \frac{x+1}{1-\delta}$

Le bénéfice de la déviation ( voici l'erreur ) :

$2x + \delta x + \delta^2 x +\delta^3 x +... =\color{red}{\frac{2x-\delta(x+1)}{1-\delta}}$

La partie en rouge devrait apparemment être:

$$\frac{(2-\delta)x}{1-\delta}$$

$2x$$(d,l)$$\delta(x+1)$$\color{red}{2x - \delta(x+1)}$$\color{blue}{(2-\delta)x}$

$\color{blue}{(2-\delta)x}$

$$\frac{x+1}{1-\delta} \ge \frac{(2-\delta)x}{1-\delta}$$

$x \le 2$

Le problème est que mon erreur réside dans:

$2x + \delta x + \delta^2 x +\delta^3 x +...$ $=\color{red}{\frac{2x-\delta(x+1)}{1-\delta}}$

$\color{blue}{(2-\delta)x}$

Merci.

$$\sum_{i=0}^{\infty}(x+1) \delta^i=\frac{x+1}{1-\delta}$$

$l$$d$

$$2x + \sum_{i=1}^{\infty}x \delta^i = 2x+ x\frac{\delta}{1-\delta}=\frac{2x(1-\delta) + x\delta}{1-\delta}= \frac{x(2-\delta)}{1-\delta}$$

$$\frac{x+1}{1-\delta} \geq \frac{x(2-\delta)}{1-\delta}$$

J'espère que cela vous aidera;)