Problème de cavalier libre en théorie des jeux

Supposons une ville construit un pont, et il coûte . Il y a yan villageois.$B$$n$

La valorisation du pont par chaque village est une information privée, .$v_i$

Tout le monde sait que cette évaluation est tirée d’une distribution uniforme . B ∈ [ 0 , 1 ] .$[0,1]$$B\in[0,1]$

Villager ne peut soumettre ou B .$0$$B$

Si un villageois soumet , le pont est construit et tous les autres villageois paient leur soumission.$B$

Si aucun pont n'est construit, tout le monde obtient .$0$

Comment puis-je construire un gain attendu d'un village ?$i$

Ce que je suis descendu à 2 scénarios est d' avoir: et v i ≤ B .$v_i>B$$v_i\leq B$

Mais dans chaque cas, j'ai deux avantages possibles. Pour le premier cas,

si tous les autres joueurs soumettent , je devrais soumettre B, car v i - B > 0 . si quelqu'un paie B , je devrais soumettre 0, car elle obtient v i .$0$$i$$v_i-B>0$
$B$$i$$v_i$

Vous obtenez un type similaire de l'autre scénario.

Mais comment intégrer cela dans les bénéfices attendus de et comment devrais-je créer une fonction de protection sociale?$i$

Je pense que ceci n’est qu’une variante des enchères à déboursement total avec un espace d’action discret pour chaque .$i$

Laissez soit i stratégie. Alors je l » gain dépend du profil de la stratégie ( b i , b - i ) , où b - i = ( b j ) j ≠ i .$b_i\in\{0,B\}$$i$$i$$(b_i,b_{-i})$$b_{-i}=(b_j)_{j\ne i}$

$$\begin{equation} u_i(b_i,b_{-i})= \begin{cases} v_i&\text{if $b_i=0$ and $b_j=B$ for some $j\ne i$}\\ 0& \text{if $b_i=0$ and $b_j=0$ for all $j\ne i$}\\ v_i-B&\text{if $b_i=B$} \end{cases} \end{equation}$$

Ainsi, est la meilleure réponse si u i ( B , b - i ) ≥ u i ( 0 , b - i$b_i=B$

$$\begin{equation} u_i(B,b_{-i})\ge u_i(0,b_{-i}) \quad\Leftrightarrow\quad v_i-B\ge (1-\Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i))v_i.\tag{1} \end{equation}$$

Comme le jeu est symétrique ex ante , on peut en outre supposer que chaque adopte une stratégie de seuil, à savoir b i$i$ où¯vest une valeur de seuil commune. Ensuite, la probabilité entre(1)peut s’écrire sous la forme Pr( b j =0

$$\begin{equation} b_i=\begin{cases} 0&\text{if $v_i\le\overline v$}\\ B&\text{if $v_i>\overline v$} \end{cases}\tag{2} \end{equation}$$ $\overline v$$(1)$ où la dernière égalité est obtenuepartirl'hypothèse quevj« s sont iid etvj~U[0,1]. $$\begin{equation} \Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i)=\Pr(v_j\le \overline v,\;\forall j\ne i)=(\overline v)^{n-1},\tag{3} \end{equation}$$ $v_j$$v_j\sim U[0,1]$

En consolidant à ( 3 ) , nous pouvons résoudre la valeur de coupure ¯ v = B 1 / n .$(1)$$(3)$$\overline v=B^{1/n}$