Considérez un jeu d’information statique complet avec 2 joueurs.
Les ensembles de stratégies sont $ S_1 = \ {U, D \}, S_2 = \ {l, m, r \} $.
Les avantages ne sont pas pertinents pour cette question, car j'essaie de bien comprendre le concept de rationalisation.
Supposons que je veuille vérifier si $ m $ est une stratégie rationalisable pour le joueur 2.
Ensuite, je veux poser la question suivante:
$ \ existe \ sigma_1 = (q ^ *, 1-q ^ *) \ dans \ delta (S_1) $ tel que pour $ \ sigma ^ * _ 2 = (0,1,0), $ $ u_2 (\ sigma_1, \ sigma ^ * _ 2) \ geq u_2 (\ sigma_1, \ sigma_2) $ pour tout $ \ sigma_2 \ in \ Delta (S_2)? $
Supposons maintenant que ma matrice de gains soit telle que je puisse trouver $ (q ^ *, 1-q ^ *) $ de telle sorte
(1) $ u_2 (\ sigma_1, \ sigma ^ * _ 2) \ geq u_2 (\ sigma_1, (1,0,0)) $
(2) $ u_2 (\ sigma_1, \ sigma ^ * _ 2) \ geq u_2 (\ sigma_1, (0,0,1)) $.
Cela signifie que je pourrais trouver une plage valide de $ q ^ * $ telle que pour le joueur 2, choisir $ m $ lui procure un gain légèrement meilleur comparé aux stratégies dégénérées (c'est-à-dire pures) de $ l $ ou $ r $.
Ma question est:
Si je pouvais trouver un tel $ q ^ * $ qui satisfasse les deux (1), (2), alors je n’ai pas à rechercher d’autres profils de stratégie dans $ \ Delta (S_2) $, c’est-à-dire un combo convexe de $ ( 1,0,0) $ et $ (0,0,1) $? Mon intuition est que pour tout $ \ alpha \ in [0,1] $, je pourrais simplement avoir:
(1) '$ \ alpha u_2 (\ sigma_1, \ sigma ^ * _ 2) \ geq \ alpha u_2 (\ sigma_1, (1,0,0)) $
(2) '$ (1- \ alpha) u_2 (\ sigma_1, \ sigma ^ * _ 2) \ geq (1- \ alpha) u_2 (\ sigma_1, (0,0,1)) $.
et montrez que (1) '+ (2)' implique que la stratégie dégénérée $ m $ pour le joueur 2 est la meilleure réponse à une croyance $ \ sigma_1 \ in \ Delta (S_1) $. Par conséquent, la ligne de fond est (1), (2) est suffisant et je n'ai pas à vérifier le combo convexe des deux autres stratégies pures.
la source
Réponses:
Oui. En règle générale, l'ensemble des meilleures réponses est toujours un mélange de l'ensemble des meilleures réponses pures. En particulier, il n'y a jamais d'incitation stricte à jouer une stratégie mixte, un joueur jouant une meilleure réponse mixte est indifférent entre toutes les stratégies pures dans le soutien de la stratégie mixte. Tout cela découle de la linéarité de l'utilité attendue.
la source