Différenciation de la fonction valeur dans Burdett Mortensen (1998)

Je suis actuellement en train de parcourir le papier classique de Burdett et Mortensen sur la recherche d'emploi. Ce qui devrait être une tâche facile de trouver une expression pour le salaire de réservation est rendu un peu plus compliqué par la présence de l'opérateur max. Nous sommes confrontés à l'équation de Bellman suivante pour la valeur d'un emploi rémunéré . Les équations de Bellman sont standard. La valeur d'un emploi rémunérateur compose du salaire plus le gain escompté de la recherche et de la recherche d'un meilleur emploi actualisé par la probabilité qu'une offre d'emploi se présente plus la perte due au fait de se retrouver sans emploi lorsque l'emploi est détruit au taux . La valeur du chômage$w$$w$$w$$\lambda_1$$\delta$$V_0$ se compose d'une allocation de chômage $b$ plus le gain escompté lié à l'emploi, actualisé par la probabilité qu'une offre se présente $\lambda_0$. Notez que la probabilité qu'une offre soit faite est différente selon que quelqu'un est déjà employé ou au chômage. La répartition des offres est donnée par$F$

$$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$$ $$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$$ Puisque augmente en w et V_0 en est indépendant, nous savons qu'il existe un salaire de réservation tel que si w> R \ implique V_1 (w)> V_0 , w <R \ implique V_1 (w) <V_0 et V_1 (R) = V_0 . Les arguments standard (intégration par parties) montrent que \ begin {equation} Rb = (\ lambda_0- \ lambda_1) \ int_R ^ \ infty V_1 '(\ tilde {x}) [1-F (\ tilde {x})] \ ; d \ tilde {x} \ end {equation} d'ici je voudrais prendre la dérivée de la première équation et résoudre pour V_1 '(w) . Cependant, si j'utilise la règle d'intégration de Leibniz$V_1(w)$$w$$V_0$$w>R\implies V_1(w)>V_0$$w<R\implies V_1(w)<V_0$$V_1(R)=V_0$ $$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$$ $V_1'(w)$J'ai besoin que l'intégrande soit différenciable. Le maximum de deux fonctions continues n'est généralement pas différenciable lorsqu'elles sont égales, j'ai donc un problème. Si je suppose que j'intègre sur tous les $\tilde{x}\geq w$ alors $V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (offres de salaires qui inciteront un travailleur à changer d'emploi) et le résultat suit par Leibniz règle. Mais il y a des salaires dans la distribution qui ne seront pas acceptés et ce dérivé ne tiendra pas. La dérivée est $$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$$ J'imagine que je il me manque quelque chose mais je ne sais pas quoi. Si quelqu'un pouvait me donner des conseils, je l'apprécierais vraiment.

Lorsque vous prenez l'intégrale d'un opérateur , je pense que vous devez diviser l'intégrale en deux intégrales distinctes avec des supports différents.$\max_{\{\cdot\}}$

Même si votre fonction de valeur est compliquée et qu'il n'y a pas de différentiabilité, vous n'avez besoin que de continuité pour l'existence d'une solution pour résoudre le problème d'optimisation.

Voici ma tentative, où je suppose une limite supérieure absolue sur le support de , , pour plus de simplicité.$F$$F(\overline{w})=1$

Réécrivez la première équation comme où

$$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$$ $$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$$

Les termes et s'annulent, de sorte que l'arrangement donne Si nous appliquons la règle de Leibniz, nous obtenons où la dernière égalité découle de . La résolution de donne la solution souhaitée.$I$$II$

$$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$$ $$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$$ $F(\overline{w})=1$$V_1'(w)$