Fonction de production Cobb-Douglas avec continuum de marchandises

J'essaie de trouver la solution à un producteur final avec une unité d'élasticité de substitution et un continuum d'intrants (de la mesure $x$ ).

Elle minimise les coûts d’intrants, pour un résultat de $q$ .

min_{{y (i)}_{i}, 0 \leq i \leq x} \int_{0}^{x} p (i) y (i) d i + λ [\log q - \log A + \int_{0}^{x} \log y (i) d i]

$\min_{\{y(i)\}_i, 0 \leq i \leq x} \int_0^x p(i)y(i) di + \lambda\left[ \log q - \log A + \int_0^x \log y(i) di \right]$

En combinant deux FOC sur et , le prix fictif chute: $y(i)$ $y(j)$

y (i) = p (j) \frac{y (j)}{p (i)}

$y(i) = p(j) \frac{y(j)}{p(i)}$

Multipliez-vous avec et intégrez-le pour obtenir le coût total de la main-d'œuvre du côté gauche: $w(i)$

\underset{C (x)}{\underset{⏟}{\int_{0}^{x} p (i) y (i)}} = p (j) y (j) x

$\underbrace{\int_0^x p(i)y(i)}_{C(x)} = p(j) y(j) x$

Prendre des journaux

\begin{matrix} (1) & \log y (j) = \log (C (x)) - \log p (j) - \log x \end{matrix}

$\log y(j) = \log(C(x)) - \log p(j) - \log x \tag 1$

Se reconnecter à la frontière de la production:

\log q = \log A (x) + \log (C (x)) - \log x - \underset{\equiv P (x)}{\underset{⏟}{\int_{0}^{x} \log p (i) d i}}

$\log q = \log A(x) + \log(C(x)) - \log x - \underbrace{\int_0^x \log p(i) di}_{\equiv P(x)}$

où je note l'indice de prix comme . Reconnexion (1): $P(x)$

\log q = \log A (x) + \log y (j) + \log p (j) - P (x)

$\log q = \log A(x) + \log y(j) + \log p(j) - P(x)$

ou,

q = \frac{A (x) y (j) p (j)}{P (x)} y (j) = \frac{P (x)}{p (j)} \frac{q}{A (x)}

$q = \frac{A(x)y(j)p(j)}{P(x)} \\ y(j) = \frac{P(x)}{p(j)}\frac{q}{A(x)}$

Ainsi, la demande pour chaque variété augmente la production totale , diminue de productivité et augmente les coûts relatifs de la variété par rapport à l’indice de prix total . Tout cela semble avoir du sens. $q$ $j$ $P(x)$

Cependant, Acemoglu obtient pour et $x=1$ $A(1) = 1$

y (j) = \frac{q}{p (j)}

$y(j) = \frac{q}{p(j)}$

c'est-à-dire que l'indice de prix n'apparaît pas dans son équation, que vous pouvez trouver dans ses diapositives , diapositive. Qu'est-ce que je rate?

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la source

Je soupçonne que cela découle de sa normalisation du prix du bien final à . Cependant, je n'ai pas suivi la dérivation avec soin. (Si cela s'avère être correct, n'importe qui peut se sentir libre de prendre mon commentaire et d'en faire une réponse.)

1

$1$

Économiste théorique

@ TheoreticalEconomist il ne devrait pas. Le prix du bien final n'entre même pas à ce stade. Notez que je n'ai résolu que la première étape du problème: étant donné la production de et la distribution des prix, comment combine-t-on les intrants? La deuxième étape serait "compte tenu des combinaisons d’intrants optimales et des coûts de production les plus bas, et en tenant compte du prix du produit vendu (ou de sa fonction de demande)", quelle quantité produisons-nous? C'est à ce moment-là que le bon prix final devrait entrer - jusqu'à présent, je ne l'ai même pas utilisé.

q

$q$

FooBar

Je comprends cela - il me semble tout simplement que, dans l’équilibre, le prix du bien final doit être égal à compte tenu de CRS. Cela me semble être la seule explication possible, à part vous ou Acemoglu pour avoir commis une erreur de dérivation (qui, compte tenu d’un examen rapide, me paraît moins probable que l’explication que j’ai donnée). Cela explique également pourquoi Acemoglu mentionne la normalisation des prix comme il le fait. Pourquoi le signaler si ce n'est pas pertinent?

P (1)

$P(1)$

Économiste théorique

@ TheoreticalEconomist si le prix final est , vous avez absolument raison.

P (1)

$P(1)$

FooBar

Cela devrait être le cas si l’équilibre impose une condition de profit nul.

Économiste théorique