Qu'est-ce qui sépare les problèmes globaux faciles des problèmes globaux durs sur les graphiques de largeur d'arbre bornée?

De nombreux problèmes de graphes durs peuvent être résolus en temps polynomial sur des graphes de largeur d'arbre bornée . En effet, les manuels utilisent généralement, par exemple, l'ensemble indépendant comme exemple, ce qui est un problème local . En gros, un problème local est un problème dont la solution peut être vérifiée en examinant un petit voisinage de chaque sommet.

Fait intéressant, même les problèmes (tels que le chemin hamiltonien) de nature globale peuvent toujours être résolus efficacement pour les graphiques à largeur d'arbre bornée. Pour de tels problèmes, les algorithmes de programmation dynamique habituels doivent garder une trace de toutes les façons dont la solution peut traverser le séparateur correspondant de la décomposition de l'arbre (voir par exemple [1]). Des algorithmes randomisés (basés sur ce qu'on appelle cut'n'count) ont été donnés dans [1], et des algorithmes améliorés (même déterministes) ont été développés dans [2].

Je ne sais pas s'il est juste de dire que beaucoup, mais au moins certains problèmes globaux peuvent être résolus efficacement pour les graphiques de largeur d'arbre bornée. Qu'en est-il des problèmes qui restent difficiles sur de tels graphiques? Je suppose qu'ils sont également de nature mondiale, mais quoi d'autre? Qu'est-ce qui sépare ces problèmes mondiaux difficiles des problèmes mondiaux qui peuvent être résolus efficacement? Par exemple, comment et pourquoi les méthodes connues ne pourraient-elles pas nous fournir des algorithmes efficaces?

Par exemple, on pourrait considérer les problèmes suivants:

L' extension bord precoloring Étant donné un graphe avec des bords colorés, décider si cette coloration peut être étendue à une bonne -edge-coloration du graphe .$G$$k$$G$

L'extension de précoloration des arêtes (et sa variante de coloration des arêtes de liste) est NP-complète pour les graphes bipartites série-parallèles [3] (ces graphes ont une largeur d'arbre au plus 2).

Coloration des bords de somme minimale Étant donné un graphique , trouver une coloration des bords telle que si et e_2 ont un sommet commun, alors \ chi (e_1) \ neq \ chi (e_2) . L'objectif est de minimiser E '_ \ chi (E) = \ sum_ {e \ dans E} \ chi (e) , la somme de la coloration.χ : E → N e 1 e 2 χ ( e 1 ) ≠ χ ( e 2 ) E ′ χ ( E ) = ∑ e ∈ E χ ( e $G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

En d'autres termes, nous devons affecter des entiers positifs aux bords d'un graphique de telle sorte que les bords adjacents reçoivent différents entiers et la somme des nombres attribués est minimale. Ce problème est NP-difficile pour les 2 arbres partiels [4] (c'est-à-dire les graphiques de la largeur des arbres au plus 2).

D'autres problèmes difficiles de ce type incluent le problème des chemins bord-disjoints, le problème d'isomorphisme des sous-graphes et le problème de la bande passante (voir par exemple [5] et les références qui y figurent). Pour les problèmes qui restent difficiles même sur les arbres, consultez cette question .

[1] Cygan, M., Nederlof, J., Pilipczuk, M., van Rooij, JM, & Wojtaszczyk, JO (2011, octobre). Résolution des problèmes de connectivité paramétrés par la largeur d'arbre en un seul temps exponentiel. Dans Foundations of Computer Science (FOCS), 2011 IEEE 52nd Annual Symposium on (pp. 150-159). IEEE.

[2] Bodlaender, HL, Cygan, M., Kratsch, S., & Nederlof, J. (2013). Algorithmes déterministes de temps exponentiel unique pour les problèmes de connectivité paramétrés par la largeur d'arbre. Dans Automates, Languages, and Programming (pp. 196-207). Springer Berlin Heidelberg.

[3] Marx, D. (2005). NP-exhaustivité de la coloration de la liste et de l'extension de précoloration sur les bords des graphiques plans. Journal of Graph Theory, 49 (4), 313-324.

[4] Marx, D. (2009). Résultats de complexité pour une coloration de bord de somme minimale. Mathématiques appliquées discrètes, 157 (5), 1034-1045.

[5] Nishizeki, T., Vygen, J., et Zhou, X. (2001). Le problème des chemins bord-disjoints est NP-complet pour les graphiques série-parallèle. Mathématiques appliquées discrètes, 115 (1), 177-186.

La plupart des algorithmes pour les graphiques de largeur d'arbre bornée sont basés sur une certaine forme de programmation dynamique. Pour que ces algorithmes soient efficaces, nous devons limiter le nombre d'états dans la table de programmation dynamique: si vous voulez un algorithme à temps polynomial, alors vous avez besoin d'un nombre d'états polynomiaux (par exemple, n ^ tw), si vous voulez montrer que le problème est FPT, vous voulez généralement montrer que le nombre d'états est une fonction de la largeur d'arbre. Le nombre d'états correspond généralement au nombre de différents types de solutions partielles lors de la rupture du graphique sur un petit séparateur. Ainsi, un problème est facile sur les graphiques à largeur d'arbre borné, généralement parce que les solutions partielles interagissant avec le monde extérieur via un nombre limité de sommets n'ont qu'un nombre limité de types. Par exemple, dans le problème d'ensemble indépendant, le type de solution partielle ne dépend que des sommets limites sélectionnés. Dans le problème du cycle hamiltonien, le type d'une solution partielle est décrit par la façon dont les sous-chemins de la solution partielle correspondent aux sommets de la frontière entre eux. Les variantes du théorème de Courcelle donnent des conditions suffisantes pour qu'un problème ait la propriété que les solutions partielles n'ont qu'un nombre limité de types.

Si un problème est difficile sur les graphiques à largeur d'arbre bornée, c'est généralement pour l'une des trois raisons suivantes.

1. Il y a des interactions dans le problème non capturées par le graphique. Par exemple, Steiner Forest est NP-hard sur les graphiques de la largeur d'arbre 3, intuitivement parce que les paires source-destination créent des interactions entre les sommets non adjacents.

Elisabeth Gassner: Le problème de la forêt Steiner revisité. J. Algorithmes discrets 8 (2): 154-163 (2010)

Mohammad Hossein Bateni, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Dániel Marx: Schémas d'approximation pour la forêt de Steiner sur les graphiques planaires et les graphiques de la largeur des arbres délimités. J. ACM 58 (5): 21 (2011)

2. Le problème est défini sur les bords du graphique. Ensuite, même si une partie du graphique est attachée au reste du graphique via un nombre limité de sommets, il pourrait y avoir de nombreuses arêtes incidentes à ces quelques sommets, puis l'état d'une solution partielle ne peut être décrit qu'en décrivant l'état de tous ces bords. C'est ce qui a rendu les problèmes de [3,4] difficiles.

3. Chaque sommet peut avoir un grand nombre d'états différents. Par exemple, Capacitated Vertex Cover est W [1] -hard paramétré par la largeur d'arbre, intuitivement parce que la description d'une solution partielle implique non seulement d'indiquer quels sommets du séparateur ont été sélectionnés, mais aussi de dire combien de fois chaque sommet sélectionné du séparateur a été utilisé pour couvrir les bords.

Michael Dom, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Yngve Villanger: Domination et couverture capacitées: une perspective paramétrée. IWPEC 2008: 78-90

Ma suggestion serait d'examiner attentivement le théorème de Courcelle , selon lequel les problèmes exprimables dans (certaines extensions de) la logique monadique du second ordre ont des algorithmes FPT lorsqu'ils sont paramétrés par la largeur d'arbre. Je soupçonne que cela couvre la plupart ou la plupart des exemples connus de problèmes FPT pour ces graphiques. Dans cette vue, votre distinction locale / globale semble être étroitement liée à la distinction entre les problèmes exprimables dans MSO existentiels et les problèmes qui ont des niveaux de quantification plus élevés dans leurs formulations MSO. Pour revenir à votre question réelle, l'absence d'une formulation MSO (qui peut être prouvée inconditionnellement dans de nombreux cas en utilisant des idées liées au théorème de Myhill-Nerode ) serait une preuve de l'absence d'un algorithme FPT (plus difficile à prouver sans hypothèses théoriques de complexité).

Je pense que l'un de ces exemples est le problème de coupe le plus clairsemé. Le problème de coupe uniforme le plus clairsemé peut être résolu sur les graphiques de largeur d'arbre borné, mais le problème de coupe éparse pondéré n'est même pas approximable (mieux que 17/16) dans les graphiques de largeur d'arbre borné.

Il existe de nombreuses variantes du problème de coupe le plus clairsemé, mais l'un des plus connus est le suivant.

$G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

L'ingrédient principal est composé de deux choses:

1. Fonctions supplémentaires, comme ici la fonction poids. Mais il y a toujours des problèmes avec la fonction de pondération qui ne sont pas très difficiles dans les graphiques non orientés de largeur d'arbre borné.

2. La nature du problème de coupe le plus clairsemé. Existence effective de plus d'une dépendance pour la programmation dynamique dans la définition du problème. Intuitivement, la bonne solution est celle que nous partitionnons un graphique (en supprimant certaines arêtes) en deux tailles presque égales, par contre dans cette partition nous supprimons le moins d'arêtes que nous utilisons. La raison pour laquelle le problème est difficile dans le graphique de largeur d'arbre borné est que nous devons appliquer la programmation dynamique dans les deux sens, mais les deux directions dépendent l'une de l'autre.

En général, si le problème est d'une manière qui nécessite plus d'une dimension pour la programmation dynamique et aussi que ces dimensions dépendent les unes des autres, alors le problème a le potentiel d'être difficile dans les graphiques de largeur d'arbre borné. Nous pouvons voir ce modèle dans les deux problèmes de la question ainsi que dans le problème de coupe le plus clairsemé. (Dans le premier problème, nous voulons garder la coloration précédente, par contre, garder la coloration aussi petite que possible, dans le deuxième problème, évidemment, il y a deux fonctions qui dépendent l'une de l'autre)