Clarification de la géométrie de l'information

Cette question concerne l'étude de la géométrie différentielle des familles exponentielles courbes - courbures et perte d'information par Amari.

Le texte est le suivant.

Soit une variété à n dimensions de distributions de probabilité avec un système de coordonnées θ = ( θ 1 , … , θ n ) , où p θ ( x ) > 0 est supposé ...$S^n=\{p_{\theta}\}$$n$$\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$$p_{\theta}(x)>0$

On peut considérer chaque point de S n comme porteur d'une fonction log p θ ( x ) de x ...$\theta$$S^n$$\log p_{\theta}(x)$$x$

Soit l'espace tangent de S n en θ , qui est, grosso modo, identifié avec une version linéarisée d'un petit voisinage de θ dans S n . Soit e i ( θ ) , i = 1 , … , n la base naturelle de T θ associée au système coordonné ...$T_{\theta}$$S^n$$\theta$$\theta$$S^n$$e_i(\theta), i=1,\dots,n$$T_{\theta}$

Puisque chaque point de S n porte une fonction log p θ ( x ) de x , il est naturel de considérer e i ( θ ) en θ comme représentant la fonction e i ( θ ) = $\theta$$S^n$$\log p_{\theta}(x)$$x$$e_i(\theta)$$\theta$

$$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x).$$

Je ne comprends pas la dernière déclaration. Cela apparaît dans la section 2 du document susmentionné. Comment la base de l'espace tangent est-elle donnée par l'équation ci-dessus? Il serait utile que quelqu'un dans cette communauté qui connaît ce type de matériel puisse m'aider à comprendre cela. Merci.

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Mise à jour 1:

Bien que je convienne que (de @aginensky) si sont linéairement indépendants alors$\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$sont également linéairement indépendants, comment ils sont membres de l'espace tangent en premier lieu n'est pas très clair. Alors comment$\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$soit considéré comme la base de l'espace tangent. Toute aide est appréciée.$\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$

Mise à jour 2:

@aginensky: Dans son livre, Amari dit ce qui suit:

$S^n=\mathcal{P}(\mathcal{X})$$\mathcal{X}=\{x_0,\dots,x_n\}$$\mathcal{P}(\mathcal{X})$$\mathbb{R}^{\mathcal{X}}=\{X\big|X:\mathcal{X}\to \mathbb{R}\}$$\mathcal{P}(\mathcal{X})$$\{X\big |\sum_x X(x)=1\}$

$T_p(S^n)$$S^n$$\mathcal{A}_0=\{X\big |\sum_x X(x)=0\}$$\frac{\partial}{\partial\theta_i}$$\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$$(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$

$p\mapsto \log p$$S^n$$\log S^n:=\{\log p\big |p\in S^n\}$$\mathbb{R}^{\mathcal{X}}$$X\in T_p(S^n)$$X$$p\mapsto \log p$$X^{(e)}$$(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}^{(e)}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$$X^{(e)}=X(x)/p(x)$

$$T_p^{(e)}(S^n)=\{X^{(e)}\big |X\in T_p(S^n)\}=\{A\in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}\big |\sum_x A(x)p(x)=0\}.$$

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}$$(\frac{\partial}{\partial\theta_i})^{(e)}$$T_p$$T_p^{(e)}$$\frac{\partial}{\partial\theta_i}^{(e)}\in T_p^{(e)}$

$S^n,T_p$$(\log S^n,T_p^{(e)})$

Mes commentaires sont si longs que je les mets en réponse.

$R^n$$R^n$$R^n$$R^n$$R^n$

$S^n$$\theta_{i}$$p_{\theta}$$S^n$$p$$p$$\theta_{i}$$R^n$$p_{\theta}$$p$

$\{1,2,3\}$$\{a,b,c\}$$R^{+}$$R$$>0$et considérez la carte sur des espaces tangents. Suis-je enfin en train de comprendre votre question? Une mise en garde s'impose, à savoir que la géométrie différentielle n'est pas mon principal domaine d'expertise. Je pense que j'ai bien compris, mais n'hésitez pas à critiquer ou à remettre en question cette réponse.