Comment une distribution peut-elle avoir une moyenne et une variance infinies?

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Les exemples suivants pourraient être cités:

Une distribution avec une moyenne infinie et une variance infinie.
Une distribution avec une variance moyenne et infinie infinie.
Une distribution avec une moyenne finie et une variance infinie.
Une distribution avec une moyenne et une variance finies.

Cela vient de ce que je vois ces termes inconnus (moyenne infinie, variance infinie) utilisés dans un article que je suis en train de lire, googler et lire un fil de discussion sur le forum / site Web de Wilmott , sans y trouver une explication suffisamment claire. De plus, je n'ai trouvé aucune explication dans aucun de mes propres manuels.

distributions variance mean user1205901 - Rétablir Monica
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1

Le cas 2 de votre liste ci-dessus est impossible.

kjetil b halvorsen

Pertinent: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

kjetil b halvorsen

1

Reproduction

2

En demandant ces quatre exemples spécifiques, je pense que cette question est distincte et ne devrait pas être traitée comme un doublon - bien que l’autre question soit certainement pertinente et utile.

Silverfish

1

Sur les 4 exemples, seuls 1, 3 et 4 sont réellement possibles et des exemples simples peuvent être donnés pour 1 et 4. Cauchy est un exemple de 1 et le gaussien un exemple de 4. Il est impossible que la variance soit bien définie. si le .mean n'existe pas. Donc 2 n'est pas possible. Un exemple de 3 serait intéressant à construire.

Michael R. Chernick

52

La moyenne et la variance sont définies en termes d'intégrales. Pour la moyenne ou la variance, cela signifie que le comportement limite de ces intégrales est énoncé.

$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Cela peut arriver, par exemple, si la queue est "assez lourde". Considérez les exemples suivants pour quatre cas de moyenne et variance finis / infinis:

Une distribution avec une moyenne infinie et une variance infinie.

Exemples: Distribution de Pareto avec , une distribution zeta (2). $\alpha= 1$
Une distribution avec une variance moyenne et infinie infinie.

Pas possible.
Une distribution avec une moyenne finie et une variance infinie.

Exemples: distribution . Pareto avec . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
Une distribution avec une moyenne et une variance finies.

Exemples: Toute normale. Tout uniforme (en effet, toute variable bornée a tous les moments). . $t_3$

Vous pouvez également avoir une distribution où l'intégrale n'est pas définie mais ne dépasse pas nécessairement toutes les limites finies de la limite.

Ces notes de Charles Geyer expliquent comment calculer des intégrales pertinentes en termes simples. On dirait qu'il traite ici des intégrales de Riemann, qui ne couvrent que le cas continu, mais des définitions plus générales d'intégrale (Stieltjes par exemple) couvriront tous les cas dont vous aurez probablement besoin [L'intégration de Lebesgue est la forme d'intégration utilisée dans la théorie des mesures (ce qui sous-tend la probabilité) mais le point ici fonctionne très bien avec des méthodes plus basiques]. Il couvre également (Sec. 2.5, p13-14) pourquoi "2." n'est pas possible (la moyenne existe si la variance existe).

Glen_b -Reinstate Monica
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7

+1 La raison pour laquelle (2) est impossible est triviale: la variance est définie en termes de moyenne. Un peu plus profond est le fait que lorsque le deuxième moment de est fini, alors la moyenne doit être finie. Car si la moyenne est infinie, alors a fortiori le deuxième moment doit être infini car le deuxième moment pondère les valeurs de non seulement par la probabilité mais aussi par lui-même ( ). Ces poids croissent sans limite, de sorte que le deuxième moment dépasse éventuellement la valeur absolue du premier moment.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

whuber

4

@whuber mais vous pouvez définir la variance sans faire référence à la moyenne (comme en termes d’attente de différences au carré dans des paires de valeurs), le problème n’est donc pas aussi trivial que cela. Quelque chose de plus semblable à votre deuxième argument est réellement nécessaire.

Glen_b -Reinstate Monica

3

C'est un bon point, mais si nous acceptons que toute définition alternative de la variance soit algébriquement équivalente à la définition habituelle de toutes les distributions, alors si elle n'est pas définie selon une définition, cela semblerait logiquement constituer une démonstration suffisante de son indétermination selon au centre commercial. Des solutions de rechange telles que celle que vous avez mentionnée sont mises en avant, c’est l’étude des processus stochastiques où les différentes définitions ne sont pas équivalentes.

whuber

2

Oui. Une variance, qui correspond à l'attente d'une variable aléatoire non négative, est égale à l'intégrale de Lebesgue de la partie positive uniquement. Par conséquent, il est fini ou infini (dans la droite numérique étendue), quoi qu'il arrive. Cette propriété d'être non négatif distingue l'analyse des moments pairs de celle des autres moments, qui peuvent ne pas être définis.

whuber

2

La définition de la variance est qu’elle est égale à .

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

whuber

5

Les distributions stables fournissent des exemples paramétriques intéressants de ce que vous recherchez:

moyenne infinie et variance: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / A
moyenne finie et variance infinie: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
moyenne finie et variance: (gaussien) $\text{stability parameter} = 2$

Steve Schulist
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1

Personne n'a mentionné le paradoxe de Saint-Pétersbourg ici; sinon, je ne posterais pas dans un fil de discussion cet ancien qui a déjà plusieurs réponses, dont une réponse "acceptée".

Si une pièce tombe "en tête", vous gagnez un cent.

Si "queues", les gains doublent et puis si "têtes" sur le deuxième tirage au sort, vous gagnez deux cents.

Si "tails" la deuxième fois, les gains doublent à nouveau et si "têtes" sur le troisième tirage au sort, vous gagnez quatre cents.

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

$\$1$ $\$1$

La réponse est qu’il est très rare que vous receviez une longue séquence de queues, de sorte que les gains vous compenseront pour l’immense dépense que vous avez engagée. C’est vrai, quel que soit le prix à payer pour chaque lancer.

Michael Hardy
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-1

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

M. Joe
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\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$

Comment une distribution peut-elle avoir une moyenne et une variance infinies?

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