Supposons que où sont indépendants.
Ma question est, quelle distribution
suivre? Je sais d' ici que le rapport de deux variables aléatoires khi-deux exprimées en suit une distribution bêta. Je pense que cela suppose l' indépendance entre et . Dans mon cas, le dénominateur de contient les composantes de carré.
Je pense que doit également suivre une variation de la distribution Beta mais je ne suis pas sûr. Et si cette hypothèse est correcte, je ne sais pas comment le prouver.
Réponses:
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Soit . Fixez tout e 1 ∈ R n de longueur unitaire. Un tel vecteur peut toujours être complété sur une base orthonormée ( e 1 , e 2 , … , e n ) (au moyen du processus de Gram-Schmidt , par exemple). Ce changement de base (par rapport à l'habituel) est orthogonal: il ne change pas de longueurs. Ainsi, la répartition desX= ( X1, X2, … , Xn) e1∈ Rn ( e1, e2, … , En)
ne dépend pas de . Prendre e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) montre que cela a la même distribution quee1 e1= ( 1 , 0 , 0 , … , 0 )
Étant donné que le sont iid normal, ils peuvent être écrits comme σ fois iid standards variables normales Y 1 , ... , Y n et leurs places sont σ 2 fois r ( 1 / 2 ) distributions. Etant donné que la somme de n - 1 indépendante Γ ( 1 / 2 ) des distributions est Γ ( ( n - 1 ) / 2 )Xje σ Oui1,…,Yn σ2 Γ(1/2) n−1 Γ(1/2) Γ((n−1)/2) , nous avons déterminé que la distribution de est celle de(1)
où et V = ( X 2 2 + ⋯ + X 2 n ) / σ 2 ~ Γ ( ( n - 1 ) / 2 ) sont indépendants. Il est bien connu que ce rapport a une Beta ( 1 / deux , ( n - 1U=X21/σ2∼Γ(1/2) V=(X22+⋯+X2n)/σ2∼Γ((n−1)/2) distribution. (Voir également le fil étroitement lié àDistribution de X Y si X ∼ Beta ( 1 , K - 1 ) et Y ∼ chi-carré avec 2 K degrés.)(1/2,(n−1)/2) XY X∼ (1,K−1) Y∼ 2K
Puisque
pour le vecteur unitaire , nous concluons queZest( √e1=(1,1,…,1)/n−−√ Z fois par Beta(1/2,(n-1)/2)variable aléatoire. (n−−√)2=n (1/2,(n−1)/2) Pouril a donc une fonction de densitén≥2
sur l'intervalle (et sinon est zéro).(0,n)
A titre de contrôle, je simulé réalisations indépendantes de Z pour σ = 1 et n = 2 , 3 , 10 , tracé de leurs histogrammes, et superposé au graphique de la densité Beta correspondant (en rouge). Les accords sont excellents.100,000 Z σ=1 n=2,3,10
Voici leZ
R
code. Il effectue la simulation au moyen de la formulesum(x)^2 / sum(x^2)
pour , où est un vecteur de longueur généré par . Le reste consiste simplement à boucler ( , ) et à tracer ( , ).x
n
rnorm
for
apply
hist
curve
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