Distribution du rapport des variables aléatoires chi carré dépendantes

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Supposons que où sont indépendants.X=X1+X2++XnXiN(0,σ2)

Ma question est, quelle distribution

Z=X2X12+X22++Xn2

suivre? Je sais d' ici que le rapport de deux variables aléatoires khi-deux exprimées en suit une distribution bêta. Je pense que cela suppose l' indépendance entre et . Dans mon cas, le dénominateur de contient les composantes de carré.WW+OuiWOuiZX

Je pense que doit également suivre une variation de la distribution Beta mais je ne suis pas sûr. Et si cette hypothèse est correcte, je ne sais pas comment le prouver.Z

x0dros
la source
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Comme la distribution du dénominateur est invariante lors des rotations, vous pouvez faire pivoter X pour égaler nX1, ce qui réduit votre question à quelque chose de familier :-).
whuber
1
Je suis presque sûr que @whuber signifie exactement ce qui a été tapé ici. Quand vous dites «nominateur», voulez-vous dire «numérateur»?
Glen_b -Reinstate Monica
3
Lorsque vous faites pivoter quelque chose, vous (par définition) conservez sa longueur. Par conséquent, la variance de toute version pivotée de doit être égale à la variance de X , qui est 1 + 1 + + 1 = n : c'est là que le XX1+1++1=n terme vient. n
whuber
1
@whuber Votre réponse semble vraiment très intéressante mais j'ai quelques doutes à ce sujet. Lorsque vous dites que je peux faire pivoter pour devenir égal à X, cela signifie essentiellement que je peux réécrire le numérateur deZennX 2 1 et par conséquent,Zlui-même se transforme enn X 2 1nX1ZnX12Z . Maintenant, si je suppose queW=X 2 1 etY=X 2 2 ++X 2 n et puisqueWetYsont indépendants, je peux supposer queZ=nWnX12X12+X22++Xn2W=X12Oui=X22++Xn2WOui a unedistributionβet ainsi de suite. Suis-je obtenir votre point jusqu'à présent? Voici donc ma confusion. Avant d'utiliser le concept d'invariance rotationnelle et de modificationZ=nWW+Yβ
ssah
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@ssah Vous vous trompez dans l'application de mon raisonnement: sans le au dénominateur, sa distribution n'est plus invariante aux rotations arbitraires de ( X 1 , , X n ) , et donc les conclusions ne tiennent plus. X12(X1,,Xn),
whuber

Réponses:

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Cet article développe les réponses dans les commentaires à la question.


Soit . Fixez tout e 1R n de longueur unitaire. Un tel vecteur peut toujours être complété sur une base orthonormée ( e 1 , e 2 , , e n ) (au moyen du processus de Gram-Schmidt , par exemple). Ce changement de base (par rapport à l'habituel) est orthogonal: il ne change pas de longueurs. Ainsi, la répartition desX=(X1,X2,,Xn)e1Rn(e1,e2,,en)

(e1X)2||X||2=(e1X)2X12+X22++Xn2

ne dépend pas de . Prendre e 1 = ( 1 , 0 , 0 , , 0 ) montre que cela a la même distribution quee1e1=(1,0,0,,0)

(1)X12X12+X22++Xn2.

Étant donné que le sont iid normal, ils peuvent être écrits comme σ fois iid standards variables normales Y 1 , ... , Y n et leurs places sont σ 2 fois r ( 1 / 2 ) distributions. Etant donné que la somme de n - 1 indépendante Γ ( 1 / 2 ) des distributions est Γ ( ( n - 1 ) / 2 )XjeσY1,,Ynσ2Γ(1/2)n1Γ(1/2)Γ((n1)/2), nous avons déterminé que la distribution de est celle de(1)

σ2Uσ2U+σ2V=UU+V

et V = ( X 2 2 + + X 2 n ) / σ 2 ~ Γ ( ( n - 1 ) / 2 ) sont indépendants. Il est bien connu que ce rapport a une Beta ( 1 / deux , ( n - 1U=X12/σ2Γ(1/2)V=(X22++Xn2)/σ2Γ((n1)/2) distribution. (Voir également le fil étroitement lié àDistribution de X Y si X Beta ( 1 , K - 1 ) et Y chi-carré avec 2 K degrés.)(1/2,(n1)/2)XYX(1,K1)Y2K

Puisque

X1++Xn=(1,1,,1)(X1,X2,,Xn)=ne1X

pour le vecteur unitaire , nous concluons queZest(e1=(1,1,,1)/nZfois par Beta(1/2,(n-1)/2)variable aléatoire. (n)2=n(1/2,(n1)/2) Pouril a donc une fonction de densitén2

fZ(z)=n1n/2B(12,n12)(nz)n3z

sur l'intervalle (et sinon est zéro).(0,n)


A titre de contrôle, je simulé réalisations indépendantes de Z pour σ = 1 et n = 2 , 3 , 10 , tracé de leurs histogrammes, et superposé au graphique de la densité Beta correspondant (en rouge). Les accords sont excellents.100,000Zσ=1n=2,3,10

Figure

Voici le Rcode. Il effectue la simulation au moyen de la formule sum(x)^2 / sum(x^2)pour , où est un vecteur de longueur généré par . Le reste consiste simplement à boucler ( , ) et à tracer ( , ).Zxnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
whuber
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