Si les distributions avec les mêmes moments sont identiques

Les éléments suivants sont similaires mais différents des articles précédents ici et ici

1. Étant donné deux distributions qui admettent des moments de tous les ordres, si tous les moments de deux distributions sont les mêmes, sont-elles alors des distributions identiques ae?
2. Étant donné deux distributions qui admettent des fonctions de génération de moments, si elles ont les mêmes moments, leurs fonctions de génération de moments sont-elles les mêmes?

Permettez-moi de répondre dans l'ordre inverse:

2. Oui. Si leurs MGF existent, ils seront les mêmes *.

voir ici et ici par exemple

En effet, il découle du résultat que vous donnez dans le post dont cela provient; si le MGF ** détermine uniquement la distribution, et que deux distributions ont des MGF et qu'elles ont la même distribution, elles doivent avoir le même MGF (sinon vous auriez un contre-exemple à `` MGF déterminent de manière unique les distributions '').

* pour certaines valeurs de «même», en raison de cette phrase «presque partout»

** « presque partout »

1. Non, car il existe des contre-exemples.

Kendall et Stuart énumèrent une famille de distribution continue (peut-être à l'origine due à Stieltjes ou à quelqu'un de ce millésime, mais mon souvenir n'est pas clair, cela fait quelques décennies) qui ont des séquences de moments identiques et pourtant différentes.

Le livre de Romano et Siegel (Counterexamples in Probability and Statistics) répertorie les contre-exemples dans les sections 3.14 et 3.15 (pages 48-49). (En fait, en les regardant, je pense que les deux étaient à Kendall et Stuart.)

Romano, JP et Siegel, AF (1986),
Counterexamples in Probability and Statistics.
Boca Raton: Chapman et Hall / CRC.

Pour 3,15, ils créditent Feller, 1971, p227

Ce deuxième exemple concerne la famille des densités

Les densités diffèrent par $\alpha$ change, mais les séquences de moments sont les mêmes.

Que les séquences des moments soient les mêmes implique de diviser en parties$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

puis en montrant que la deuxième partie contribue à 0 à chaque instant, ils sont donc tous les mêmes que les moments de la première partie.

$\alpha=0$$\alpha=0.5$

Mieux encore, peut-être, pour avoir pris une plage beaucoup plus grande et utilisé une échelle de quatrième racine sur l'axe des x, rendant la courbe bleue droite, et la verte se déplaçant comme une courbe sin au-dessus et en dessous, quelque chose comme ça:

Les oscillations au-dessus et au-dessous de la courbe bleue - qu'elles soient de plus grande ou de plus petite ampleur - s'avèrent ne pas modifier tous les moments entiers positifs.

$X_1,X_2$$\alpha$$X_1$$-X_2$