Identité des fonctions génératrices de moments

Réponses:

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Oui.

Dans un exercice, Stuart & Ord ( Théorie de la statistique avancée de Kendall .., 5ème Ed, Ex 3,12) citent un résultat 1918 de TJ Stieltjes (qui semble apparemment dans son Œuvres Complètes , ):

Si est une fonction impaire de la période , montrez que1f12

0xrxlogxf(logx)dx=0

pour toutes les valeurs intégrales de . Montrer donc que les distributionsr

dF=xlogx(1λsin(4πlogx)) dx,0x<;0|λ|1,

avoir les mêmes moments quelle que soit la valeur de .λ

(Dans l'original, n'apparaît que sous la forme ; la restriction sur la taille de découle de l'obligation de conserver toutes les valeurs de la fonction de densité non négatives.) L'exercice est facile à résoudre via la substitution et en complétant le carré. Le cas est la distribution log - normale bien connue .|λ|λλdFx=exp(y)λ=0

entrez la description de l'image ici

La courbe bleue correspond à , une distribution log-normale. Pour la courbe rouge, et pour la courbe or, .λ = - 1 / quatre λ = 1 / deuxλ=0λ=1/4λ=1/2

whuber
la source
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Mais la distribution log - normale n'a pas de fonction génératrice de moment.
onestop
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C'est un excellent point, onestop, et je suis d'accord avec lui. J'ai pris la question dans le sens "d'avoir le même ensemble de moments" et j'aurais dû signaler ce changement d'interprétation. Lorsque le mgf existe en tant que fonction (et pas seulement en tant que série de puissance formelle), il peut être inversé pour produire une densité unique à laquelle il correspond.
whuber
Ce n'est pas vrai que les lognormaux n'ont pas mgf, c'est seulement qu'ils ne sont pas définis sur un intervalle ouvert contenant zéro
kjetil b halvorsen
2
0.00.
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@whuber: C'est OK, mais il semble être compris implicitement si souvent que l'on oublie que les mgf peuvent être utiles autrement. Voir aussi (les liens dans) stats.stackexchange.com/questions/389846/…
kjetil b halvorsen