Quelle est la probabilité qu'une distribution normale à variance infinie ait une valeur supérieure à sa moyenne?

On m'a demandé quelque chose de similaire à cela dans une interview aujourd'hui.

L'intervieweur voulait savoir quelle est la probabilité qu'une option à la monnaie finisse dans la monnaie lorsque la volatilité tend vers l'infini.

J'ai dit 0% parce que les distributions normales qui sous-tendent le modèle de Black-Scholes et l'hypothèse de marche aléatoire auront une variance infinie. Et donc je me suis dit que la probabilité que toutes les valeurs soient nulles.

Mon intervieweur a dit que la bonne réponse est 50% car la distribution normale sera toujours symétrique et presque uniforme. Ainsi, lorsque vous intégrez de la moyenne à l'infini, vous obtenez 50%.

Je ne suis toujours pas convaincu par son raisonnement.

Qui a raison?

Aucune des deux formes de raisonnement n'est mathématiquement rigoureuse - il n'y a pas de distribution normale avec une variance infinie, ni de distribution limite à mesure que la variance augmente - alors soyons un peu prudents.

Dans le modèle Black-Scholes, le prix du log de l'actif sous-jacent est supposé subir une marche aléatoire. Le problème revient à demander "quelle est la probabilité que la valeur (journal) de l'actif à la date d'expiration dépasse sa valeur (journal) actuelle?" Laisser la volatilité augmenter sans limite équivaut à laisser la date d'expiration augmenter sans limite. Ainsi, la réponse devrait être la même que celle de demander "quelle est la limite, comme , que la valeur d'une marche aléatoire au temps t soit supérieure à sa valeur au temps 0 ?" Par symétrie (échange de montées et de descentes) (et en notant que dans le modèle continu, la chance d'être à l'argent est de 0 ), ces probabilités sont égales à 1 $t \to \infty$$t$$0$$0$ pour tout t > 0 ,où leur limite existeeffet et est égal à 1 / 2 .$1/2$$t \gt 0$$1/2$

Considérons une séquence de variables aléatoires normales avec une moyenne μ et SD σ n .$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

Essentiellement, votre intervieweur demande , étant donné que nous connaissons σ n → ∞ .$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

On voit clairement est indépendant deσn, ce qui nous donne la réponse.$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

Intuitivement, au lieu de concevoir une distribution normale à variance infinie, vous devriez imaginer une distribution à variance finie et travailler avec ses limites.

Vous devriez faire votre analyse sur la base d'une distribution logarithmique normale, et non pas normale. Votre intervieweur a tort quand il déclare que la distribution est symétrique. Ce ne serait jamais le cas, quelle que soit la variance. Vous devez également faire la distinction entre la volatilité et ce que vous appelez la variance infinie. Un prix des actions, par exemple, n'a pas de limite supérieure, il a donc une "variance infinie".