Quelle est la médiane d'une distribution t non centrale?

Quelle est la médiane de la distribution t non centrale avec le paramètre de non-centralité ? Cela peut être une question désespérée parce que le CDF semble être exprimé comme une somme infinie, et je ne trouve aucune information sur la fonction CDF inverse.$\delta \ne 0$

Vous pouvez l'approcher.

Par exemple, j'ai effectué les ajustements non linéaires suivants pour (degrés de liberté) de 1 à 20 et (paramètre de non-centralité) de 0 à 5 (par étapes de 1/2). Laisser$\nu$$\delta$

$$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$$

$$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$$

et

$$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$$

Ensuite, estime la médiane à 0,15 pour , 0,03 pour , 0,015 pour et 0,007 pour .$g$$\nu=1$$\nu=2$$\nu=3$$\nu = 4, 5, \ldots, 20$

L'estimation a été effectuée en calculant les valeurs de et pour chaque valeur de de 1 à 20, puis en ajustant séparément et à . J'ai examiné les tracés de et pour déterminer une forme fonctionnelle appropriée pour ces ajustements.$a$$b$$\nu$$a$$b$$\nu$$a$$b$

Vous pouvez faire mieux en vous concentrant sur les intervalles de ces paramètres qui vous intéressent. En particulier, si vous n'êtes pas intéressé par de très petites valeurs de vous pouvez facilement améliorer ces estimations, probablement à 0,005 de manière cohérente.$\nu$

Voici des graphiques de la médiane par rapport à pour , le cas le plus difficile, et les résidus négatifs (vraie médiane moins la valeur approximative) par rapport à :$\delta$$\nu=1$ $\delta$

Les résidus sont vraiment faibles par rapport aux médianes.

BTW, pour tous les degrés de liberté sauf les plus petits, la médiane est proche du paramètre de non-centralité. Voici un graphique de la médiane, pour de 0 à 5 et (traité comme un paramètre réel) de 1 à 20.$\delta$$\nu$

À de nombreuses fins, l'utilisation de pour estimer la médiane peut être suffisante. Voici un tracé de l'erreur (relative à ) faite en supposant que la médiane est égale à (pour de 2 à 20).δ δ $\delta$$\delta$$\delta$$\nu$

Si vous êtes intéressé par (degrés de liberté) ν> 2, l'expression asymptotique suivante [dérivée d'une approximation interpolative du quantile étudiant-t non central, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] est suffisamment précis pour de nombreuses raisons:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Avec ν> 2, l'amplitude maximale du biais de l'expression ci-dessus par rapport à la médiane de l'élève-t non centrale est d'environ 2% et diminue rapidement avec l'augmentation de ν. Le diagramme de contour montre le biais de l'approximation asymptotique par rapport à la médiane t-étudiant non centrale: