Valeur qui augmente l'écart type

Je suis perplexe devant la déclaration suivante:

"Afin d'augmenter l'écart-type d'un ensemble de nombres, vous devez ajouter une valeur qui est plus d'un écart-type de la moyenne"

Quelle est la preuve de cela? Je sais bien sûr comment nous définissons l'écart type, mais cette partie me semble d'une certaine manière manquer. Des commentaires?

Pour tout nombre y 1 , y 2 , … , y N avec moyenne ˉ y = $N$$y_1,y_2, \ldots, y_N$, la variance est donnée par σ $\displaystyle \bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$ Application de(1)à l'ensemble donné dennombresx1,x2,…xn que nous considérons par commodité dans l'exposition comme ayant une moyenneˉx=0, nous avons que σ2=

$$\begin{align} \sigma^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2\\ &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - 2y_i\bar{y} + \bar{y}^2\right)\\ &= \frac{1}{N-1}\left[\left(\sum_{i=1}^Ny_i^2\right) - 2N(\bar{y})^2 + N(\bar{y})^2 \right] \\ \sigma^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - (\bar{y})^2\right) \tag{1} \end{align}$$ $(1)$$n$$x_1, x_2, \ldots x_n$$\bar{x} = 0$ Si nous ajoutons maintenant une nouvelle observationxn+1à cet ensemble de données, alors la nouvelle moyenne de l'ensemble de données est $$\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-(\bar{x})^2\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2$$ $x_{n+1}$ alors que la nouvelle variance est σ $$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i = \frac{n\bar{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{x_{n+1}}{n+1}$$ Alors| xn+1| doit être plus grand queσ $$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i^2-\frac{x_{n+1}^2}{(n+1)^2}\right)\\ &= \frac{1}{n}\left[\left((n-1)\sigma^2 + x_{n+1}^2\right) - \frac{x_{n+1}^2}{n+1}\right]\\ &= \left.\left.\frac{1}{n}\right[(n-1)\sigma^2 + \frac{n}{n+1}x_{n+1}^2\right]\\ &> \sigma^2 ~ \text{only if}~ x_{n+1}^2 > \frac{n+1}{n}\sigma^2. \end{align}$$ $|x_{n+1}|$ ou, plus généralement,xn+1doit différer deplus deσ√de la moyenneˉxde l'ensemble de données d'origine$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$x_{n+1}$$\bar{x}$ , afin que l'ensemble de données augmenté présente une variance plus importante que l'ensemble de données d'origine. Voir aussi la réponse de Ray Koopman qui souligne que la nouvelle variance est supérieure, égale ou inférieure à la variance d'origine selonxn+1 diffère de la moyenne de plus, exactement ou moins queσ$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$x_{n+1}$ .$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

La déclaration déroutante donne une condition nécessaire mais insuffisante pour que l'écart-type augmente. Si l'ancienne taille d'échantillon est , l'ancienne moyenne est m , l'ancien écart-type est s et un nouveau point x est ajouté aux données, alors le nouvel écart-type sera inférieur, égal ou supérieur à s selon comme | x - m | est inférieur, égal ou supérieur à s $n$$m$$s$$x$$s$$|x-m|$ .$s\sqrt{1+1/n}$

En laissant de côté l'algèbre (qui fonctionne aussi), pensez-y de cette façon: l'écart-type est la racine carrée de la variance. La variance est la moyenne des distances au carré de la moyenne. Si nous ajoutons une valeur plus proche de la moyenne que celle-ci, la variance diminuera. Si nous ajoutons une valeur plus éloignée de la moyenne que celle-ci, elle augmentera.

Cela est vrai pour toute moyenne de valeurs non négatives. Si vous ajoutez une valeur supérieure à la moyenne, la moyenne augmente. Si vous ajoutez une valeur inférieure, elle diminue.

$$Z = \frac{x-\mu}{\sigma} .$$ $x$$Z$$x$ $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}Z_i^2}{N-1}}$$ $\sigma$$Z_N$