Je ne réponds pas vraiment à la question, car je ne vous pointe pas vers des livres ou des articles qui ont employé un hyperprior, mais au lieu de cela je décris, et je lie à, des trucs sur les antérieurs sur les paramètres Gamma.
Notons tout d'abord que le modèle de Poisson-Gamma conduit, lorsque est intégré, à une distribution binomiale négative avec les paramètres et . Le deuxième paramètre est dans la plage . Si vous souhaitez ne pas être informatif, un avant Jeffreys sur pourrait être approprié. Vous pouvez mettre le prieur directement sur ou travailler sur le changement de variables pour obtenir:λαβ/ ( 1 + β)( 0 , 1 )p = β/ (1+β)p
p ( β) ∝ β- 1 / deux( 1 + β)- 1
Alternativement, vous pouvez noter que est le paramètre d'échelle pour la distribution Gamma, et, de manière générique, le précédent de Jeffreys pour un paramètre d'échelle est . On pourrait trouver étrange que le précédent de Jeffreys pour soit différent entre les deux modèles, mais les modèles eux-mêmes ne sont pas équivalents; on est pour la distribution de et l'autre est pour la distribution de . Un argument en faveur de la première est que, en supposant qu'il n'y ait pas de clustering, les données sont vraiment distribuées Binomial négatif , mettant ainsi les priors directement sur etβ 1 / β β y | α , β λ | α , β ( α , p ) α p λ λ βββ1/ββy|α,βλ|α,β(α,p)αpest la chose à faire. OTOH, si, par exemple, vous avez des clusters dans les données où les observations dans chaque cluster ont le même , vous devez vraiment modéliser les s d'une manière ou d'une autre, et donc traiter comme paramètre d'échelle d'une distribution Gamma serait semblent plus appropriés. (Mes réflexions sur un sujet éventuellement litigieux.)λλβ
Le premier paramètre peut également être adressé via les a priori de Jeffreys. Si nous utilisons la technique courante consistant à développer des prieurs de Jeffreys pour chaque paramètre indépendamment, puis à former le joint (non-Jeffreys) avant comme produit des deux prieurs à paramètre unique, nous obtenons un a priori pour le paramètre de forme d'une distribution Gamma :α
p(α)∝PG(1,α)−−−−−−−√
PG(1,α)=∑∞i=0(i+α)−21/β
Si nous souhaitons suivre la route Full Jeffreys, formant le véritable Jeffreys avant pour les paramètres Gamma, nous obtiendrions:
p(α,β)∝αPG(1,α)−1−−−−−−−−−−−√/β
Cependant, les a priori de Jeffreys pour les paramètres multidimensionnels ont souvent de mauvaises propriétés ainsi que de mauvaises caractéristiques de convergence (voir le lien vers le cours ). Je ne sais pas si c'est le cas pour le Gamma, mais les tests fourniraient des informations utiles.
Pour en savoir plus sur les prieurs pour le Gamma, consultez les pages 13-14 du catalogue des prieurs non informatifs , Yang et Berger. Beaucoup d'autres distributions s'y trouvent également. Pour un aperçu de Jeffreys et des références antérieures, voici quelques notes de cours .