Puis-je utiliser un intervalle de confiance de la moyenne de poisson pour sa variance

Dans une distribution de Poisson, la moyenne est égale à la variance. Je voudrais trouver un intervalle de confiance de la variance. Mon raisonnement ci-dessous est-il correct?
En utilisant le théorème de la limite centrale, je construis un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne$\mu$
$L \leq \mu \leq U$
$\mu=\sigma^2$
Donc
$L \leq \sigma^2 \leq U$
Il me semble que l'inégalité devrait fonctionner comme toute autre inégalité en mathématiques, mais les statistiques peuvent parfois lancer une balle courbe, donc je n'en suis pas certain. Je ne trouve aucun article discutant si cette approche est valide.
Un autre bon exemple de ceci est un intervalle de confiance pour la moyenne et la médiane d'une distribution normale. L'intervalle de confiance moyen est plus petit mais l'intervalle de confiance médian est plus robuste, donc l'un ou l'autre pourrait être préféré comme estimation de l'autre.

Votre approche est fondamentalement correcte mais dépend fortement de la forte hypothèse de distribution que vous faites. S'il est violé, même pour de très grands échantillons, les régions de confiance n'auront pas les probabilités de couverture déclarées. C'est pourquoi les statisticiens essaient d'éviter ce raisonnement s'il existe des méthodes plus robustes.

Il existe en fait un exemple (non lié aux intervalles de confiance mais à l'estimation ponctuelle) où votre approche est fréquemment utilisée par les statisticiens appliqués: Supposons que vous souhaitiez estimer le vrai quantile de 97,5%, par exemple pour détecter les valeurs aberrantes. Souvent, au lieu de calculer l'échantillon quantile à 97,5%, les chercheurs supposent la normalité et estiment le vrai quantile par la moyenne de l'échantillon plus deux écarts-types. Si la distribution sous-jacente est normale (ce qu'elle n'a généralement pas de raison d'être), cette estimation est plus efficace que celle basée sur des quantiles d'échantillon.