Relation entre la plage et l'écart type

Dans un article, j'ai trouvé la formule de l'écart-type d'une taille d'échantillon $N$

$\sigma=\frac{\overline{R}}{2.534}$

où est la plage moyenne de sous-échantillons (taille ) de l'échantillon principal. Comment le nombre est-il calculé? C'est le bon numéro? 6$\overline{R}$$6$$2.534$

Dans un échantillon de n valeurs indépendantes d'une distribution F avec pdf f , le pdf de la distribution conjointe des extrêmes min ( x ) = x [ 1 ] et max ( x ) = x [ n ] est proportionnel à$x$$n$$F$$f$$\min(x)=x_{[1]}$$\max(x)=x_{[n]}$

(La constante de proportionnalité est l'inverse du coefficient multinomial . Intuitivement, ce PDF commun exprime la chance de trouver la plus petite valeur dans la plage[x[1],x[1]+dx[1]), la plus grande valeur dans la plage[x[n],x[n]+dx[n]$\binom{n}{1,n-2,1} = n(n-1)$$[x_{[1]},x_{[1]}+dx_{[1]})$$[x_{[n]},x_{[n]}+dx_{[n]})$ , et le milieu $n-2$ valeurs moyennes entre elles dans la plage . Lorsque F est continue, nous pouvons remplacer cette plage moyenne par ( x [ 1 ] , x [ n ] ] , négligeant ainsi uniquement une quantité de probabilité "infinitésimale". Les probabilités associées, au premier ordre dans les différentiels, sont f ( x [ 1 $[x_{[1]}+dx_{[1]}, x_{[n]})$$F$$(x_{[1]}, x_{[n]}]$f ( $f(x_{[1]})dx_{[1]},$ etF( x [ n ] )-F( x [ 1 ] ),.Respectivement, maintenantqui rend évident où la formule vient)$f(x_{[n]})dx_{[n]},$$F(x_{[n]})-F(x_{[1]}),$

Prendre l'espérance de la plage donne 2,53441 σ pour toute distribution normale avec un écart-type σ et n = 6 . La plage attendue en tant que multiple de σ dépend de la taille de l'échantillon n :$x_{[n]} - x_{[1]}$$2.53441\ \sigma$$\sigma$$n=6$$\sigma$$n$

Ces valeurs ont été calculées en intégrant numériquement sur{(x,y)∈R2| x≤y}, avecFréglé sur le CDF normal standard, et divisé par l'écart-type deF(qui n'est que de1).$\binom{n}{1,n-2,1}\left(y-x\right)H_F(x,y)dxdy$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\le y\}$$F$$F$$1$

Une relation multiplicative similaire entre la plage attendue et l'écart-type est valable pour toute famille de distributions à l'échelle de l'emplacement, car elle est une propriété de la forme de la distribution seule. Par exemple, voici un tracé comparable pour des distributions uniformes:

et distributions exponentielles:

Les valeurs des deux graphiques précédents ont été obtenues par intégration exacte - et non numérique -, ce qui est possible en raison des formes algébriques relativement simples de et F dans chaque cas. Pour les distributions uniformes, elles sont égales à n - $f$$F$ et pour les distributions exponentielles, elles sontγ+ψ(n)=γ+ Γ ′$\frac{n-1}{(n+1)}\sqrt{12}$ oùγest la constante d'Euler et$\gamma + \psi(n) = \gamma + \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}$$\gamma$ est la fonction "polygamma", la dérivée logarithmique de la fonction Gamma d'Euler.$\psi$

Bien qu'ils diffèrent (car ces distributions affichent un large éventail de formes), les trois s'accordent à peu près autour de , montrant que le multiplicateur 2,5 ne dépend pas fortement de la forme et peut donc servir d'omnibus, une évaluation robuste de l'écart-type lorsque des gammes de petits sous-échantillons sont connues. (En effet, la distribution très taillée de Student t avec trois degrés de liberté a toujours un multiplicateur autour de 2,3 pour n = 6 , pas très loin de 2,5 .)$n=6$$2.5$$t$$2.3$$n=6$$2.5$

That approximation is very close to the true sample standard deviation. I wrote a quick R script to illustrate it:

x = sample(1:10000,6000,replace=TRUE)

B = 100000
R = rep(NA,B)
for(i in 1:B){
    samp = sample(x,6)
    R[i] = max(samp)-min(samp)
}

mean(R)/2.534

sd(x)

which yields:

> mean(R)/2.534
[1] 2819.238
> 
> sd(x)
[1] 2880.924

Now I am not sure (yet) why this works but it at least looks like (at face value) that the approximation is a decent one.

Edit: See @Whuber's exceptional comment (above) on why this works