Corrélations réalisables pour les variables aléatoires exponentielles

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Quelle est la plage de corrélations réalisables pour la paire de variables aléatoires à distribution exponentielle et X_2 \ sim {\ rm Exp} (\ lambda_2) , où \ lambda_1, \ lambda_2> 0 sont les paramètres de débit?X1Exp(λ1)X2Exp(λ2)λ1,λ2>0

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Soit ρmin (resp. ρmax ) la borne inférieure (resp. Supérieure) de la corrélation réalisable entre X1 et X2 . Les limites ρmin et ρmax sont atteintes lorsque X1 et X2 sont respectivement contre-monotones et comonotoniques (voir ici ).

Limite inférieure
Pour déterminer la limite inférieure nous construisons une paire de variables exponentielles contre-monotoniques et calculons leur corrélation.ρmin

La condition nécessaire et suffisante mentionnée ici et la transformation intégrale de probabilité fournissent un moyen pratique de construire les variables aléatoires et sorte qu'elles soient contre-monotones. Rappelons que la fonction de distribution exponentielle est , donc la fonction quantile est .X1X2
F(x)=1exp(λx)F1(q)=λ1log(1q)

Soit une variable aléatoire uniformément distribuée, alors est également uniformément distribué et les variables aléatoires ont la distribution exponentielle avec le taux et respectivement. De plus, ils sont contre- puisque et , et les fonctions et augmentent et diminuent respectivement.UU(0,1)1U

X1=λ11log(1U),and X2=λ21log(U)
λ1λ2X1=h1(U)X2=h2(U)h1(x)=λ11log(1x)h2(x)=λ11log(x)

Maintenant, calculons la corrélation de et . Par les propriétés de la distribution exponentielle, nous avons , , et . De plus, nous avons oùX1X2E(X1)=λ11E(X2)=λ21var(X1)=λ12var(X2)=λ22

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(U)}=λ11λ2101log(1u)log(u)fU(u)du=λ11λ2101log(1u)log(u)du=λ11λ21(2π26),
fU(u)1est la fonction de densité de la distribution uniforme standard. Pour la dernière égalité, je me suis appuyé sur WolframAlpha .

Ainsi, Notez que la borne inférieure ne dépend pas des taux et , et que la corrélation n'atteint jamais , même lorsque les deux marges sont égales (c'est-à-dire lorsque ).

ρmin=corr(X1,X2)=λ11λ21(2π2/6)λ11λ21λ12λ22=1π2/60.645.
λ1λ21λ1=λ2

Limite supérieure
Pour déterminer la limite supérieure nous suivons une approche similaire avec une paire de variables exponentielles comonotoniques. Maintenant, laissez et où et , qui sont tous deux des fonctions croissantes. Ces variables aléatoires sont donc comonotoniques et distribuées de façon exponentielle avec les taux et .ρmaxX1=g1(U)X2=g2(U)g1(x)=λ11log(1x)g2(x)=λ21log(1x)λ1λ2

Nous avons et ainsi, De même que la limite inférieure, la limite supérieure ne dépend pas des taux et .

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(1U)}=λ11λ2101{log(1u)}2du=2λ11λ21,
ρmax=corr(X1,X2)=2λ11λ21λ11λ21λ12λ22=1.
λ1λ2
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Merci pour vos calculs. Je voulais juste ajouter que aurait pu être trouvé immédiatement, notant que et sont du même type: a la distribution , c'est-à-dire la même distribution de . ρmax=1X1X2λ1λ2X1Exp(λ2)X2
user48713
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(+1). Notez que la limite supérieure est évidente en observant deux variables exponentielles ne diffèrent que par un facteur d'échelle. Il est également évident que la borne inférieure ne peut pas atteindre lorsque (sinon, l'asymétrie serait nulle). 1λ1λ2
whuber