Générer des paires de nombres aléatoires uniformément distribués et corrélés

Je voudrais générer des paires de nombres aléatoires avec une certaine corrélation. Cependant, l'approche habituelle consistant à utiliser une combinaison linéaire de deux variables normales n'est pas valable ici, car une combinaison linéaire de variables uniformes n'est plus une variable uniformément distribuée. J'ai besoin que les deux variables soient uniformes.

Une idée sur la façon de générer des paires de variables uniformes avec une corrélation donnée?

I'm not aware of a universal method to generate correlated random variables with any given marginal distributions. So, I'll propose an ad hoc method to generate pairs of uniformly distributed random variables with a given (Pearson) correlation. Without loss of generality, I assume that the desired marginal distribution is standard uniform (i.e., the support is $[0, 1]$).

The proposed approach relies on the following:
a) For standard uniform random variables $U_1$ and $U_2$ with respective distribution functions $F_1$ and $F_2$, we have $F_i(U_i) = U_i$, for $i = 1, 2$. Thus, by definition Spearman's rho is

b) If $X_1, X_2$ are random variables with continuous margins and Gaussian copula with (Pearson) correlation coefficient $\rho$, then Spearman's rho is

The approach is to generate data from the Gaussian copula with an appropriate correlation coefficient $\rho$ such that the Spearman's rho corresponds to the desired correlation for the uniform random variables.

Simulation algorithm
Let $r$ denote the desired level of correlation, and $n$ the number of pairs to be generated. The algorithm is:

1. Compute $\rho = 2\sin (r \pi/6)$.
2. Generate a pair of random variables from the Gaussian copula (e.g., with this approach)
3. Repeat step 2 $n$ times.

Example
The following code is an example of implementation of this algorithm using R with a target correlation $r = 0.6$ and $n = 500$ pairs.

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

In the figure below, the diagonal plots show histograms of variables $U_1$ and $U_2$, and off-diagonal plots show scatter plots of $U_1$ and $U_2$.

By constuction, the random variables have uniform margins and a correlation coefficient (close to) $r$. But due to the effect of sampling, the correlation coefficient of the simulated data is not exactly equal to $r$.

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

Note that the gen.gauss.cop function should work with more than two variables simply by specifying a larger correlation matrix.

Simulation study
The following simulation study repeated for target correlation $r= -0.5, 0.1, 0.6$ suggests that the distribution of the correlation coefficient converges to the desired correlation as the sample size $n$ increases.

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

Intuitivement, $u_1$ est $U(0,1)$ car $u_1$ équivaut à $w_1$ [lequel est $U(0,1)$] si $I = 1$, et $u_1$ équivaut à $w_2$ [lequel est $U(0,1)$] si $I = 0$, donc $u_1$ est $U(0,1)$dans tous les cas. Pareil pour$u_2$. Quant à la corrélation:

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

En développant cela, notons d'abord que $I(I-1)=0$, $I^2=I$, et $(1-I)^2=(1-I)$ car $I$ est toujours soit $0$ ou $1$. Notez également que$I$ est indépendant du $w$, qui sont également indépendants les uns des autres. Donc:

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

From the fact that $V(w_1)=1/12$, we get $E(w_1^2)=1/3$, so $E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$, that is: $cov(u_1 u_2) = p/12$. Since $V(u_1)=V(u_2)=1/12$, we get finally that $cor(u_1, u_2) = p$.

Voici une méthode simple pour une corrélation positive: Soit $(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$, où $w_1, w_2,$ et $w_3$ sont indépendants $U(0,1)$ et $I$ est Bernoulli ($p$). $u_1$ et $u_2$ aura alors $U(0,1)$ distributions avec corrélation $p$. Cela s'étend immédiatement à$k$-tuples d'uniformes avec matrice de variance symétrique composée.

Si vous voulez des paires avec une corrélation négative, utilisez $(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$, et la corrélation sera $-p$.