Supposons que et sont fonction de la densité et la fonction de répartition de la loi normale.
Comment peut-on calculer l'intégrale:
Supposons que et sont fonction de la densité et la fonction de répartition de la loi normale.
Comment peut-on calculer l'intégrale:
Réponses:
Une notation plus conventionnelle est
Ceci peut être trouvé en différenciant l'intégrale par rapport àμ et à σ , produisant des intégrales élémentaires pouvant être exprimées sous forme fermée:
Ce système peut être intégré, en commençant par la condition initiale = ∫ & phiv ( x ) φ ( x ) d x = 1 / deux , pour obtenir la solution donnée (qui est facilement vérifiée par différenciation).y(0,1) ∫Φ(x)ϕ(x)dx 1/2
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Soit et Y des variables aléatoires normales indépendantes avec X ∼ N ( a , b 2 ) et Y une variable aléatoire normale standard. Alors, P { X ≤ Y ∣ Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aX Y X∼N(a,b2) Y Ainsi,utilisant la loi de probabilité totale, nous obtenons que
P{X≤Y}=∫ ∞ - ∞ P{X
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Voici une autre solution: nous définissonsje( γ)= ∫∞- ∞Φ ( ξx + γ) N( x | 0 , σ2) dx ,
que nous pouvons évaluer γ= - ξμ pour obtenir notre expression désirée. Nous connaissons au moins une valeur de fonction deje( γ) , par exemple, je(0)=0
due to symmetry. We take the derivative wrt to γ
dIdγ=∫∞−∞N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=∫∞−∞12π−−√exp(−12(ξx+γ)2)12πσ2−−−−√exp(−x22σ2)dx.
and complete the square
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ−2)=ax2+−2γξ=bx+γ2=c=a(x−b2a)2+(c−b24a)(c−b24a)=γ2−4γ2ξ24(ξ2+σ−2)=γ2(1−ξ2ξ2+σ−2)=γ2(11+ξ2σ2)
Thus,
dIdγ=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√∫∞−∞a2π−−−√exp(−12a(x−b2a)2)dx=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√=12πσ2a−−−−−√exp(−12(c−b24a))=12π(1+σ2ξ2)−−−−−−−−−−−√exp(−12γ21+ξ2σ2)
and integration yields
which implies
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