Comment puis - je calculer

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Supposons que ϕ() et Φ() sont fonction de la densité et la fonction de répartition de la loi normale.

Comment peut-on calculer l'intégrale:

Φ(wab)ϕ(w)dw
Hadisanji
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Tout va bien. Ellison (1964, J. Am.Stat.Assoc, 59, 89-95) est une référence précoce à un résultat plus général incluant celui-ci. voir le corollaire 1 du théorème 2.

Réponses:

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Une notation plus conventionnelle est

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

Ceci peut être trouvé en différenciant l'intégrale par rapport à μ et à σ , produisant des intégrales élémentaires pouvant être exprimées sous forme fermée:

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

Ce système peut être intégré, en commençant par la condition initiale = & phiv ( x ) φ ( x ) d x = 1 / deux , pour obtenir la solution donnée (qui est facilement vérifiée par différenciation).y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2

whuber
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J'ai double-vérifié la réponse par intégration numérique et en ajustant les rapports pour , 0 < σ 2 : l'accord correspondait à onze chiffres significatifs dans cette plage. 2μ20<σ2
whuber
wow, solution intelligente.
Cam.Davidson.Pilon
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Je pense que celui-ci peut être fait presque par inspection. Le premier terme sous l'intégrale est une variable aléatoire uniforme [0,1]. Puisque le pdf normal est symétrique, l'intégrale devrait être 12
soakley
1
@ soakley Votre approche fonctionne pour , mais on ne sait pas comment elle s'appliquerait aux autres arguments de y . y(0,1)y
whuber
1
@ Whuber Désolé de ne pas comprendre, mais une fois que nous avons les deux formulaires fermés pour le dérivé et la condition initiale, comment pouvons-nous passer de là à la solution finale? En d'autres termes, qu'avez-vous fait des expressions sous forme fermée pour les dérivés et la condition initiale?
user106860
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Soit et Y des variables aléatoires normales indépendantes avec X N ( a , b 2 ) et Y une variable aléatoire normale standard. Alors, P { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXYXN(a,b2)YAinsi,utilisant la loi de probabilité totale, nous obtenons que P{XY}=- P{X

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
Maintenant, P { X Y } = P { X - Y 0 } peut être exprimée en termes de Φ ( ) en notant que X - Y ~ N ( a , b 2 + 1 ) , et donc nous obtenons - & phiv ( w - a
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ()XYN(a,b2+1)
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)
Dilip Sarwate
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2

Voici une autre solution: nous définissons

je(γ)=-Φ(ξX+γ)N(X|0,σ2)X,
que nous pouvons évaluer γ=-ξμpour obtenir notre expression désirée. Nous connaissons au moins une valeur de fonction deje(γ), par exemple, I(0)=0 due to symmetry. We take the derivative wrt to γ
dIdγ=N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=12πexp(12(ξx+γ)2)12πσ2exp(x22σ2)dx.
and complete the square
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
Thus,
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)
and integration yields

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

which implies

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

Jenny Reininger
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