Le lemme de Neyman-Pearson peut-il s'appliquer au cas où le simple nul et l'alternative n'appartiennent pas à la même famille de distributions?

1. Le lemme de Neyman-Pearson peut-il s'appliquer au cas où un simple nul et une simple alternative n'appartiennent pas à la même famille de distributions? De sa preuve, je ne vois pas pourquoi il ne peut pas.

   Par exemple, lorsque le simple null est une distribution normale et l'alternative simple est une distribution exponentielle.

2. Le test du rapport de vraisemblance est-il un bon moyen de tester un composite nul par rapport à une alternative composite lorsque les deux appartiennent à des familles de distributions différentes?

Merci et salutations!

Oui, le lemme de Neyman Pearson peut s'appliquer au cas où une simple alternative nulle et simple n'appartient pas à la même famille de distributions.

Supposons que nous construisions un test le plus puissant (MP) de contre H 1 : X ∼ Exp ( 1 ) de sa taille.$H_0:X\sim N(0,1)$$H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

Pour un particulier , notre fonction critique par le lemme de Neyman Pearson est$k$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$

est un test MP de contre H 1 de sa taille.$H_0$$H_1$

Ici

$$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$$

Notez que Maintenant, si vous dessinez l'image der(x)[Je ne sais pas comment construire une image en réponse], à partir du graphique, il sera clair quer(x)>

$$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$$ $r(x)$ .$r(x)>k \implies x>c$

Donc, pour un particulier ϕ ( x ) = { 1 , x > c 0 , sinon c'est un test MP de H o contre H 1 de sa taille.$c$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$ $H_o$$H_1$

Vous pouvez tester

• 1. contreH1:X∼Cauchy(0,1$H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  2. $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  3. $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Par le lemme Neyman Pearson.

$\mathbb{\theta}$

C'est tout de moi.

Q2. Le rapport de vraisemblance est une statistique de test suffisamment sensible mais (a) le lemme de Neyman-Pearson ne s'applique pas aux hypothèses composites, donc le TLR ne sera pas nécessairement le plus puissant; & (b) Le théorème de Wilks ne s'applique qu'aux hypothèses imbriquées, donc à moins qu'une famille ne soit un cas particulier de l'autre (par exemple exponentielle / Weibull, Poisson / binôme négatif), vous ne connaissez pas la distribution du rapport de vraisemblance sous le nul, même asymptotiquement.

1. $\alpha$$\phi$$\phi$$\alpha^\mathrm{th}$$H_0$$H_1$

2. L' article original de Neyman & Pearson discute également des hypothèses composites. Dans certains cas, la réponse est simple - s'il existe un choix de distributions particulières dans chaque famille dont le rapport de vraisemblance est conservateur lorsqu'il est appliqué à l'ensemble de la famille. C'est ce qui arrive souvent, par exemple, pour des hypothèses imbriquées. Il est cependant facile que cela ne se produise pas; cet article de Cox explique ce qu'il faut faire plus loin. Je pense qu'une approche plus moderne ici serait de l'aborder de manière bayésienne, en plaçant les prieurs sur les deux familles.