Variance des puissances d'une variable aléatoire

Est-il possible de dériver une formule de variance des puissances d'une variable aléatoire en termes de valeur attendue et de variance de X? et

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value damla
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Avez-vous une distribution particulière en tête? Pour obtenir une solution, vous avez besoin d'une telle restriction. Si une formule générale existait, alors il y aurait remarquablement peu de distributions: cette formule déterminerait tous les moments supérieurs et donc toutes les distributions pourraient être paramétrées par l'espérance et la variance, ce qui n'est clairement pas le cas.

whuber

Je n'ai aucune restriction. La version indépendante et plus générale de ce problème est résolue dans ce lien: stats.stackexchange.com/questions/52646/… Donc, je me demande si nous pouvons dériver une équation générale pour celui-ci aussi. En d'autres termes, j'essaie de trouver où

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

damla

Oui: leur différence est la variance et la variance, en tant que somme de carrés, ne peut pas être négative.

whuber

Stéphane Laurent Je ne vois pas où une telle affirmation est faite, mais juste pour être clair, je n'ai rien soutenu de tel.

whuber

@Bastiaan ; pour les distributions normales est disponible ici .

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$

Dougal

Réponses:

si vous avez la fonction de génération de Moment pour la distribution X, vous pouvez calculer la valeur attendue de utilisant et en l'évaluant à . $X^n$ $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ $t=0$

Nick Lim
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Pouvez-vous expliquer comment cela peut aider à trouver ?

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$

Silverfish

Le commentaire de @Silverfish Dougal sur la question principale, publié seulement trois minutes avant votre commentaire ci-dessus, répond complètement à votre question.

Dilip Sarwate