Pourquoi la matrice d'information de Fisher est-elle semi-définie positive?

18

Soit . La matrice d'informations de Fisher est définie comme suit: $\theta \in R^{n}$

I (θ)_{i, j} = - E [\frac{\partial^{2} \log (f (X | θ))}{\partial θ_{i} \partial θ_{j}} | θ]

$I(\theta)_{i,j} = -E\left[\frac{\partial^{2} \log(f(X|\theta))}{\partial \theta_{i} \partial \theta_{j}}\bigg|\theta\right]$

Comment puis-je prouver que la matrice d'informations de Fisher est semi-définie positive?

inference linear-algebra fisher-information madprob
la source

7

N'est-ce pas la valeur attendue d'un produit extérieur de la partition avec lui-même?

Neil G

19

Vérifiez ceci: http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_information#Matrix_form

D'après la définition, nous avons

I_{i j} = E_{θ} [(\partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\partial_{j} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))],

$I_{ij} = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\partial_j \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)\right] \, ,$ pour , dans lequel . Votre expression pour découle de celle-ci dans des conditions de régularité.

i, j = 1, \dots, k

$i,j=1,\dots,k$

\partial_{i} = \partial / \partial θ_{i}

$\partial_i=\partial /\partial \theta_i$

I_{i j}

$I_{ij}$

Pour un vecteur non nul , il résulte de la linéarité de l'attente que $u = (u_1,\dots,u_k)^\top\in\mathbb{R}^n$

\sum_{i, j = 1}^{k} u_{i} I_{i j} u_{j} = \sum_{i, j = 1}^{k} (u_{i} E_{θ} [(\partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\partial_{j} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))] u_{j}) = E_{θ} [(\sum_{i = 1}^{k} u_{i} \partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\sum_{j = 1}^{k} u_{j} \partial_{j} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))] = E_{θ} [{(\sum_{i = 1}^{k} u_{i} \partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))}^{2}] \geq 0 .

$\sum_{i,j=1}^k u_i I_{ij} u_j = \sum_{i,j=1}^k \left( u_i \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\partial_j \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)\right] u_j \right) \\ = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\sum_{i=1}^k u_i \partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\sum_{j=1}^k u_j \partial_j \log f_{X\mid\Theta} (X\mid\theta)\right)\right] \\ = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\sum_{i=1}^k u_i \partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)^2 \right] \geq 0 \, .$

Si cette notation au niveau des composants est trop laide, notez que la matrice d'informations Fisher peut être écrite comme , dans laquelle le vecteur de scores est défini comme $H=(I_{ij})$ $H = \mathrm{E}_\theta\left[S S^\top\right]$ $S$

S = {(\partial_{1} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ), \dots, \partial_{k} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))}^{⊤} .

$S = \left( \partial_1 \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta), \dots, \partial_k \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta) \right)^\top \, .$

Par conséquent, nous avons la ligne unique

u^{⊤} H u = u^{⊤} E_{θ} [S S^{⊤}] u = E_{θ} [u^{⊤} S S^{⊤} u] = E_{θ} [| | S^{⊤} u | |^{2}] \geq 0.

$u^\top H u = u^\top \mathrm{E}_\theta[S S^\top] u = \mathrm{E}_\theta[u^\top S S^\top u] = \mathrm{E}_\theta\left[|| S^\top u ||^2\right] \geq 0.$

Zen
la source

3

(+1) Bonne réponse et bon retour, Zen. Je commençais à craindre que nous ne vous ayons perdu de façon permanente compte tenu de la durée de votre interruption. Cela aurait été vraiment dommage!

Cardinal

5

ATTENTION: pas une réponse générale!

Si correspond à une famille exponentielle de rang complet, alors la Hesse négative de la log-vraisemblance est la matrice de covariance de la statistique suffisante. Les matrices de covariance sont toujours semi-définies positives. Étant donné que les informations de Fisher sont une combinaison convexe de matrices semi-définies positives, elles doivent donc également être semi-définies positives. $f(X|\theta)$

gusl
la source

Pourquoi la matrice d'information de Fisher est-elle semi-définie positive?

Réponses: