Les degrés de liberté pour le test de Welch sont-ils toujours inférieurs au DF du test groupé?

J'enseigne un cours sur les statistiques de base, et nous faisons le test t pour deux échantillons indépendants avec des variances inégales (test de Welch). Dans les exemples que j'ai vus, les degrés de liberté ajustés utilisés par le test de Welch sont toujours inférieurs ou égaux à . $n_1+n_2-2$

Est-ce toujours le cas? Le test de Welch réduit-il toujours (ou laisse-t-il inchangé) les degrés de liberté du test t groupé (variances égales)?

Et sur le même sujet, si les écarts types de l'échantillon sont égaux, les DF du test de Welch se réduisent-ils à ? J'ai regardé la formule, mais l'algèbre est devenue désordonnée.$n_1+n_2-2$

Oui.

Le test de Welch utilise l' ajustement Satterthaite-Welch pour les degrés de liberté: Comme vous pouvez le voir, c'est plutôt moche (et en fait est approximé numériquement), mais cela nécessite que . Voici une référence: Howell (2002, p. 214) déclare que " est limité par le plus petit de et à une extrémité et par à l'autre".

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Voici les références «officielles» (notez que l'ajustement ci-dessus - celui qui est généralement utilisé - est dérivé dans le deuxième article):

• Welch, BL (1938). "L'importance de la différence entre deux signifie lorsque les variances de population sont inégales". Biometrika, 29, 3/4 , pp. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Une Distribution Approximative d'Estimations de Composantes de Variance". Bulletin de biométrie, 2, 6 , pp. 110-114 .
• Welch, BL (1947). "La généralisation du problème" de Student "lorsque plusieurs variances de population différentes sont impliquées". Biometrika, 34, 1/2 , pp. 28–35 .

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