Quelles sont les limites de queue connues les plus nettes pour les variables distribuées

Soit une variable aléatoire distribuée khi carré avec degrés de liberté. Quelles sont les limites connues les plus précises pour les probabilités suivantes $X \sim \chi^2_k$ $k$

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

où et sont quelques fonctions. Des pointeurs vers des documents pertinents seraient appréciés. $\delta_1$ $\delta_2$

probability chi-squared mkolar
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Si vous définissez les deltas comme des fonctions gamma incomplètes complémentaires, vous obtenez des égalités exactes. Évidemment, ce sont les limites les plus nettes possibles! Je suppose que le point de cette question est que votre calculatrice ne calcule pas les gammas incomplets et que vous recherchez une approximation, mais cela omet toujours des informations essentielles: comment pouvons-nous répondre à cette question jusqu'à ce que nous sachions exactement ce que votre calculatrice peut calculer?

whuber

Je ne suis pas intéressé à calculer une limite supérieure, mais à obtenir quelque chose que je peux contrôler analytiquement. La réponse que Robin a fournie est exactement ce que je cherchais. La question est, y a-t-il des limites plus précises que celles fournies par Massart et Laurent?

mkolar

Les intégrales gamma peuvent être "contrôlées analytiquement", alors quelle distinction faites-vous?

whuber

Réponses:

La limite la plus nette que je connaisse est celle de Massart et Laurent Lemma 1 p1325.

Un corollaire de leur lien est:

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

Robin Girard
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la deuxième inégalité semble être incorrecte ou est-ce que je manque quelque chose?

mkolar

@mkolar désolé pour cela, maintenant corrigé

robin girard