On pense qu'ils sont symétriques car, souvent, une approximation normale est utilisée. Celui-ci fonctionne assez bien dans le cas où p se situe autour de 0,5. binom.testd'autre part, rapporte des intervalles Clopper-Pearson "exacts", qui sont basés sur la distribution F (voir ici les formules exactes des deux approches). Si nous implémentions l'intervalle Clopper-Pearson dans R, ce serait quelque chose comme (voir note ):
Clopper.Pearson <- function(x, n, conf.level){
alpha <- (1 - conf.level) / 2
QF.l <- qf(1 - alpha, 2*n - 2*x + 2, 2*x)
QF.u <- qf(1 - alpha, 2*x + 2, 2*n - 2*x)
ll <- if (x == 0){
0
} else { x / ( x + (n-x+1)*QF.l ) }
uu <- if (x == 0){
0
} else { (x+1)*QF.u / ( n - x + (x+1)*QF.u ) }
return(c(ll, uu))
}
Vous voyez à la fois dans le lien et dans l'implémentation que la formule pour la limite supérieure et la limite inférieure sont complètement différentes. Le seul cas d'un intervalle de confiance symétrique est lorsque p = 0,5. En utilisant les formules du lien et en tenant compte du fait que dans ce cas il est facile de déterminer comment cela se produit.n=2×x
Personnellement, je l'ai mieux compris en regardant les intervalles de confiance basés sur une approche logistique. Les données binomiales sont généralement modélisées à l'aide d'une fonction de lien logit, définie comme:
logit(x)=log(x1−x)
Cette fonction de lien "mappe" le terme d'erreur dans une régression logistique à une distribution normale. Par conséquent, les intervalles de confiance dans le cadre logistique sont symétriques autour des valeurs logit, un peu comme dans le cadre de régression linéaire classique. La transformation logit est utilisée exactement pour permettre d'utiliser toute la théorie basée sur la normalité autour de la régression linéaire.
Après avoir fait la transformation inverse:
logit−1(x)=ex1+ex
Vous obtenez à nouveau un intervalle asymétrique. Or, ces intervalles de confiance sont en fait biaisés. Leur couverture n'est pas celle que vous attendez, en particulier aux limites de la distribution binomiale. Pourtant, à titre d'illustration, ils vous montrent pourquoi il est logique qu'une distribution binomiale ait des intervalles de confiance asymétriques.
Un exemple en R:
logit <- function(x){ log(x/(1-x)) }
inv.logit <- function(x){ exp(x)/(1+exp(x)) }
x <- c(0.2, 0.5, 0.8)
lx <- logit(x)
upper <- lx + 2
lower <- lx - 2
logxtab <- cbind(lx, upper, lower)
logxtab # the confidence intervals are symmetric by construction
xtab <- inv.logit(logxtab)
xtab # back transformation gives asymmetric confidence intervals
note : En fait, R utilise la distribution bêta, mais celle-ci est complètement équivalente et calculatrice un peu plus efficace. L'implémentation dans R est donc différente de ce que je montre ici, mais elle donne exactement le même résultat.
Pour voir pourquoi il ne devrait pas être symétrique, pensez à la situation où et vous obtenez 9 succès en 10 essais. Alors et l'IC à 95% pour est [0,554, 0,997]. La limite supérieure ne peut évidemment pas être supérieure à 1, donc la majeure partie de l'incertitude doit tomber à gauche de .p=0.9 p^=0.9 p p^
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@Joris a mentionné l'intervalle symétrique ou "asymptotique", qui est probablement celui que vous attendez. @Joris a également mentionné les intervalles "exacts" de Clopper-Pearson et vous a donné une référence qui a l'air très agréable. Il existe un autre intervalle de confiance pour les proportions que vous rencontrerez probablement (notez qu'il n'est pas non plus symétrique), l'intervalle "Wilson" qui est un type d'intervalle asymptotique basé sur l'inversion du test de score. Les extrémités de l'intervalle résolvent (en ) l'équationp
Quoi qu'il en soit, vous pouvez obtenir les trois en R avec les éléments suivants:
Notez que la méthode "wilson" est le même intervalle de confiance utilisé par prop.test sans correction de continuité de Yates:
Voir ici le manuel SPLUS + R gratuit de Laura Thompson qui accompagne l'analyse de données catégorielles d'Agresti dans lequel ces questions sont discutées en détail.
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Il existe des intervalles de confiance symétriques pour la distribution binomiale: l'asymétrie ne nous est pas imposée, malgré toutes les raisons déjà évoquées. Les intervalles symétriques sont généralement considérés comme inférieurs en ce que
Bien qu'ils soient numériquement symétriques, ils ne sont pas symétriques en probabilité : c'est-à-dire que leurs couvertures unilatérales diffèrent les unes des autres. Ceci - une conséquence nécessaire de l'asymétrie possible de la distribution binomiale - est le nœud de la question.
Souvent, un point final doit être irréaliste (inférieur à 0 ou supérieur à 1), comme le souligne @Rob Hyndman.
Cela dit, je soupçonne que les CI numériquement symétriques pourraient avoir de bonnes propriétés, comme avoir tendance à être plus courtes que les CI probabilistiquement symétriques dans certaines circonstances.
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La distribution binomiale n'est tout simplement pas symétrique, mais ce fait apparaît surtout pour près de ou et pour les petits ; la plupart des gens l'utilisent pour et donc la confusion.0 1p 0 1 p ≈ 0,5n p≈0.5
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Je sais que cela fait un moment, mais je pensais que je sonnerais ici. Étant donné n et p, il est simple de calculer la probabilité d'un certain nombre de succès en utilisant directement la distribution binomiale. On peut alors examiner la distribution pour voir qu'elle n'est pas symétrique. Il approchera de la symétrie pour les grands np et les grands n (1-p).
On peut accumuler les probabilités dans les queues pour calculer un CI particulier. Étant donné la nature discrète de la distribution, trouver une probabilité particulière dans une queue (par exemple, 2,5% pour un IC à 95%) nécessitera une interpolation entre le nombre de succès. Avec cette méthode, on peut calculer les CI directement sans approximation (autre que l'interpolation requise).
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