pdf du produit de deux variables aléatoires indépendantes, normale et khi carré

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quel est le pdf du produit de deux variables aléatoires indépendantes X et Y, si X et Y sont indépendants? X est distribué normalement et Y est distribué khi carré.

Z = XY

si a une distribution normale et a une distribution du chi carré avec degré de liberté Y \ sim \ chi_k ^ 2 f_Y (y) = {y ^ {(k / 2) -1} e ^ { -y / 2} \ over {2 ^ {k / 2} \ Gamma ({k \ over2})}} u (y)u (y) est la fonction de pas d'unité.X

XN(μx,σx2)
fX(x)=1σx2πe12(xμxσx)2
Yk
Yχk2
u(y)
fY(y)=y(k/2)1ey/22k/2Γ(k2)u(y)
u(y)

Maintenant, quel est le pdf de Z si X et Y sont indépendants?

Une façon de trouver la solution consiste à utiliser le résultat bien connu de Rohatgi (1976, p.141) si fXY(x,y) être joint pdf de RV continue X et Y , le pdf de Z est

fZ(z)=1|y|fXY(zy,y)dy

puisque, et sont indépendants Où nous sommes confrontés au problème de la résolution de l'intégrale . Quelqu'un peut-il m'aider avec ce problème.Y f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) = - 1XYfXY(x,y)=fX(x)fY(y) fZ(z)=1

fZ(z)=1|y|fX(zy)fY(y)dy
01
fZ(z)=1σx2π12k/2Γ(k2)01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy
01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy

existe-t-il un autre moyen de résoudre ce problème?

Robin
la source
2
Cette dernière étape ne semble pas tout à fait correcte. " " semble signifier , mais - plus important encore - vous ne pouvez pas simplement changer la limite inférieure à : vous devez diviser l'intégrale en deux distinctes à , changer pour celui dans la plage négative, puis combinez les deux. Je crois que cela peut rendre l'intégration traitable: il semble donner une combinaison linéaire de fonctions hypergéométriques généralisées. fX00y-yfXYfX00yy
whuber
Oui, c'était une erreur devrait être . fZY(zy)fX(zy)
robin
Mais je suppose que changer la limite inférieure à 0 est valide car est une fonction sur qui est indiquée par la fonction de pas unitaire . fY(y)(0,)u(y)
Robin
Je ne suis plus formé à ce genre de calculs ... mais il ne semble pas possible de se retrouver avec une formule fermée. Si vous en avez besoin pour une application pratique, je pense que vous devriez vous concentrer sur "comment calculer cela efficacement".
Elvis
4
Y a-t-il une motivation pour cette question? Un Normal divisé par un est un de Student , mais pourquoi considéreriez-vous un Normal multiplié ou divisé par un ? χtχ2
Xi'an

Réponses:

1

simplifier le terme dans l'intégrale de

T=e12((zyμxσx)2y)yk/22

trouver le polynôme tel quep(y)

[p(y)e12((zyμxσx)2y)]=p(y)e12((zyμxσx)2y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]e12((zyμxσx)2y)=T

ce qui revient à trouver tel quep(y)

p(y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]=yk/22

ou

p(y)12p(y)(zμxσx2y2z2σx2y31)=yk/22

qui peut être fait en évaluant séparément toutes les puissances de y


modifier après les commentaires

La solution ci-dessus ne fonctionnera pas car elle diverge.

Pourtant, certains autres ont travaillé sur ce type de produit.

Utilisation de la transformée de Fourrier:

Schoenecker, Steven et Tod Luginbuhl. "Fonctions caractéristiques du produit de deux variables aléatoires gaussiennes et du produit d'une variable gaussienne et d'une variable aléatoire gamma." Lettres de traitement du signal IEEE 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

Pour le produit avec X N ( 0 , 1 ) et Y Γ ( α , β ) ils ont obtenu la fonction caractéristique:Z=XYXN(0,1)YΓ(α,β)

φZ=1βα|t|αexp(14β2t2)Dα(1β|t|)

avec la fonction de Whittaker ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )Dα

Utilisation de la transformation de Mellin:

Springer et Thomson ont décrit plus généralement l'évaluation des produits des variables aléatoires distribuées bêta, gamma et gaussienne.

Springer, MD et WE Thompson. "La distribution des produits des variables aléatoires bêta, gamma et gaussiennes." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

Ils utilisent la transformation intégrale de Mellin. La transformée de Mellin de est le produit des transformées de Mellin de X et Y (voir http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 ou https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201 ). Dans les cas de produits étudiés, la transformation inverse de ce produit peut être exprimée comme une fonction G de Meijer pour laquelle ils fournissent et prouvent également des méthodes de calcul.ZXY

Ils n'ont pas analysé le produit d'une variable distribuée gaussienne et gamma, bien que vous puissiez utiliser les mêmes techniques. Si j'essaie de le faire rapidement, je pense qu'il devrait être possible d'obtenir une fonction H ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) bien que je ne vois pas directement la possibilité d'obtenir un G- fonctionner ou apporter d'autres simplifications.

M{fY(x)|s}=2s1Γ(12k+s1)/Γ(12k)

et

M{fX(x)|s}=1π2(s1)/2σs1Γ(s/2)

vous obtenez

M{fZ(x)|s}=1π232(s1)σs1Γ(s/2)Γ(12k+s1)/Γ(12k)

Z

fZ(y)=12πicic+iysM{fZ(x)|s}ds

232(s1) term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both s and s/2 complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the s/2 could be transformed into s by substituting the variable x=w2. But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.

Sextus Empiricus
la source
1
... which yields ...?
wolfies
it gives the antiderivative of the term in the integral that is to be solved according to the question
Sextus Empiricus
It is unclear what progress this analysis represents. Do you obtain a solution or not?
whuber
Finding the coefficients of the polynomial p(y) (which closes the solution) is a tedious, but straightforward, task which I left open. I will soon enter some examples for some k.
Sextus Empiricus