Existe-t-il des asymptotiques de troisième ordre?

La plupart des résultats asymptotiques en statistiques prouvent que lorsque un estimateur (tel que le MLE) converge vers une distribution normale basée sur une expansion taylorique de second ordre de la fonction de vraisemblance. Je crois qu'il y a un résultat similaire dans la littérature bayésienne, le "théorème de la limite centrale bayésienne", qui montre que le postérieur converge asymptotiquement vers une normale comme n → $n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$

Ma question est - la distribution converge-t-elle vers quelque chose "avant" qu'elle devienne normale, basée sur le troisième terme de la série Taylor? Ou n'est-ce pas possible de faire en général?

Vous recherchez la série Edgeworth, n'est-ce pas?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(Notez qu'Edgeworth est décédé en 1926, devrait être dans la plupart des statisticiens célèbres?)

Il n'est pas possible pour une séquence de «converger» vers une chose puis vers une autre. Les termes d'ordre supérieur dans une expansion asymptotique iront à zéro. Ce qu'ils vous disent, c'est à quel point ils sont proches de zéro pour une valeur donnée de .$n$

Pour le théorème central limite (à titre d'exemple), l'expansion appropriée est celle du logarithme de la fonction caractéristique: la fonction génératrice de cumul (cgf). La normalisation des distributions fixe les zéros, les premier et deuxième termes du CGG. Les termes restants, dont les coefficients sont les cumulants , dépendent de de manière ordonnée. La normalisation qui se produit dans la CLT (divisant la somme des n variables aléatoires par quelque chose proportionnel à n 1 / 2 --without qui convergence ne se produira pas) provoque la m e cumulants - qui , après tout dépend m e moments - à être divisé par ( $n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$ , mais en même temps parce que nous additionnonsntermes, le résultat net est que lemèmeterme d'ordre est proportionnel àn/n m / 2 =n - ( m - 2 ) / 2 . Ainsile troisième cumulants de la somme normalisée est proportionnelle à1/n 1 / 2 , le quatrième cumulants est proportionnelle à1/$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$, etc. Ce sont les termes d'ordre supérieur. (Pour plus de détails, consultez cet article de Yuval Filmus par exemple.)

En général, une puissance négative élevée de est beaucoup plus petite qu'une puissance négative faible. On peut toujours en être assuré en prenant une valeur suffisamment grande de n . Ainsi, pour n vraiment grand, nous pouvons négliger toutes les puissances négatives de n : elles convergent vers zéro. Sur le chemin de convergence, les départs à partir de la limite ultime sont mesurées avec une précision croissante par les conditions supplémentaires: le 1 / n 1 / deux terme est une « correction », initiale ou de départ à partir de la valeur limite; le prochain 1 /$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$terme est une correction plus petite, qui disparaît plus rapidement, et ainsi de suite. En bref, les termes supplémentaires vous donnent une image de la vitesse à laquelle la séquence converge vers sa limite.

$n$$1/n^{1/2}$

Voici une tentative de répondre à votre question perspicace. J'ai vu l'inclusion du 3ème terme de la série Taylor pour augmenter la vitesse de convergence de la série vers la vraie distribution. Cependant, je n'ai pas vu (dans mon expérience limitée) l'utilisation de moments tiers et supérieurs.

Comme l'a souligné John D. Cook dans ses blogs ( ici et ici ), il n'y a pas eu beaucoup de travail dans ce sens, à part le théorème de Berry-Esseen . Je suppose que (d'après l'observation dans le blog de l'erreur d'approximation limitée par$n^{1/2}$), la normalité asymptotique de mle étant garantie à un taux de convergence de $n^{1/2}$ ($n$étant la taille de l'échantillon), le fait de considérer des moments plus élevés n'améliorera pas le résultat de normalité.

Par conséquent, je suppose que la réponse à votre question devrait être non . La distribution asymptotique converge vers une dist normale (par CLT, dans les conditions de régularité du CLT de Lindberg). Cependant, l'utilisation de termes d'ordre supérieur peut augmenter le taux de convergence vers la distribution asymptotique.

Ce n'est certainement pas mon domaine, mais je suis à peu près sûr qu'il existe des asymptotiques de troisième ordre et d'ordre supérieur. Est-ce une aide?

Robert L. Strawderman. Approximation asymptotique d'ordre supérieur: Laplace, Saddlepoint, and Related Methods Journal de l'American Statistical Association Vol. 95, n ° 452 (déc., 2000), pp. 1358-1364