Corrélations réalisables pour les variables aléatoires lognormales

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Considérons les variables aléatoires lognormales X1 et X2 avec log(X1)N(0,1) et log(X2)N(0,σ2) .

J'essaie de calculer ρmax et pour . Une étape dans la solution donnée que j'ai est:ρminρ(X1,X2)

ρmax=ρ(exp(Z),exp(σZ)) et ,ρmin=ρ(exp(Z),exp(σZ))

mais ils ont fait quelques références à la comonotonicité et à la contre-comonotonicité. J'espérais que quelqu'un m'aiderait à comprendre leur pertinence. (Je sais comment obtenir cela de l'expression générale, mais je veux savoir précisément ce que les parties de comonotonicité disaient.)

Pk.yd
la source
8
Qui sont-ils"?
whuber

Réponses:

25

Je commencerai par donner la définition de la comonotonicité et de la contre- monotonie . Ensuite, je mentionnerai pourquoi cela est pertinent pour calculer le coefficient de corrélation minimum et maximum possible entre deux variables aléatoires. Et enfin, je vais calculer ces limites pour les variables aléatoires lognormales et X 2 .X1X2

Comonotonicité et contre-monotonicité
Les variables aléatoires sont dites comonotoniques si leur copule est la borne supérieure de Fréchet M ( u 1 , , u d ) = min ( u 1 , , u d ) , qui est le type le plus fort de dépendance "positive". On peut montrer que X 1 , , X dX1,,Xd M(u1,,ud)=min(u1,,ud)
X1,,Xd sont comonotoniques si et seulement si Z est une variable aléatoire, h 1 , , h d sont des fonctions croissantes , et d = dénote l'égalité dans la distribution. Ainsi, les variables aléatoires comonotoniques ne sont que les fonctions d'une seule variable aléatoire.

(X1,,Xd)=d(h1(Z),,hd(Z)),
Zh1,,hd=d

Les variables aléatoires sont dites contre - monotones si leur copule est la borne inférieure de Fréchet W ( u 1 , u 2 ) = max ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) , qui est le type le plus fort de " dépendance "négative" dans le cas bivarié. La contre-monotonocité ne se généralise pas aux dimensions supérieures. On peut montrer que X 1 , X 2 sont contre-monotones si et seulement si (X1,X2 W(u1,u2)=max(0,u1+u21)
X1,X2 Z est une variable aléatoire, et h 1 et h 2 sont respectivement une fonction croissante et une fonction décroissante, ou vice versa.

(X1,X2)=d(h1(Z),h2(Z)),
Zh1h2

Corrélation réalisable
Soit et X 2 deux variables aléatoires avec des variances strictement positives et finies, et soit ρ min et ρ max désignent le coefficient de corrélation minimum et maximum possible entre X 1X1X2ρminρmaxX1 et . Ensuite, on peut montrer queX2

  • si et seulement si X 1ρ(X1,X2)=ρminX1 et sont contre-monotones;X2
  • si et seulement si Xρ(X1,X2)=ρmax et X 2 sont comonotoniques.X1X2

Corrélation réalisable pour les variables aléatoires lognormales
Pour obtenir nous utilisons le fait que la corrélation maximale est atteinte si et seulement si X 1 et X 2 sont comonotoniques. Les variables aléatoires X 1 = e Z et X 2 = e σ ZZ N ( 0 , 1 ) sont comonotoniques puisque la fonction exponentielle est une fonction (strictement) croissante, et donc ρ max = c o r r (ρmaxX1X2X1=eZX2=eσZZN(0,1) .ρmax=corr(eZ,eσZ)

En utilisant les propriétés des variables aléatoires lognormales , nous avons , E ( e σ Z ) = e σ 2 / 2 , v un r ( e Z ) = e ( e - 1 ) , v a r ( e σ Z ) = e 2 - 1 )E(eZ)=e1/2E(eσZ)=eσ2/2var(eZ)=e(e1)var(eσZ)=eσ2(eσ21) , et la covariance est

cov(eZ,eσZ)=E(e(σ+1)Z)E(eσZ)E(eZ)=e(σ+1)2/2e(σ2+1)/2=e(σ2+1)/2(eσ1).
Thus,
ρmax=e(σ2+1)/2(eσ1)e(e1)eσ2(eσ21)=(eσ1)(e1)(eσ21).

Similar computations with X2=eσZ yield

ρmin=(eσ1)(e1)(eσ21).

Comment
This example shows that it is possible to have a pair of random variable that are strongly dependent — comonotonicity and countermonotonicity are the strongest kind of dependence — but that have a very low correlation. The following chart shows these bounds as a function of σ.

enter image description here

This is the R code I used to produce the above chart.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)
QuantIbex
la source
7
(+6) Nice thorough exposition and well illustrated. It is interesting that attempts to confirm your chart through simulation will be doomed when σ is much larger than 3 because the sample correlation coefficient is extremely variable (due to the chance of getting one extremely high value of X2, which will have high leverage). That places a higher value than usual on a solid theoretical analysis.
whuber
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This exposition is an adaptation of Example 2.1 (pg. 23) of M. Denuit and J. Dhaene (2003), Simple characterizations of comonotonicity and countermonotonicity by extremal correlations, Belgian Actuarial Bulletin, vol. 3, 22-27.
cardinal
3
@cardinal I wasn't aware of this article, thanks. Other potential references include ebooks.cambridge.org/… or McNeil, A. J., Frey, R. and Embrechts, P. (2005). Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools. Princeton: Princeton University Press.
QuantIbex
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The example goes back to at least R. D. De Veaux (1976), Tight upper and lower bounds for correlation of bivariate distributions arising in air pollution models, Tech. Report 5, Dept. of Statistics, Stanford University. See Section 3 starting on page 6. The underlying tools were known to Hoeffding.
cardinal
@QuantIbex in your proof there's something unclear to me. You first claim that X1 and X2 are comonotonic if and only if their joint distribution is equal to (h1(Z),h2(Z)), for h1,h2 increasing, etc., but when you apply this result to the lognormal random variables, you say that this implies that the random variables themselves are such that X1=eZ and X1=eσZ, i.e., it seems you apply the claim to the random variables themselves, not just their distributions. How is it?
RandomGuy