Comment tester si

Supposons que j'ai trois groupes indépendants, avec respectivement .$\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$

Comment puis-je tester si ou non en utilisant des échantillons de chaque groupe?$\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$$n_1,~n_2,~n_3$

Je souhaite connaître une méthodologie générale, pas un calcul détaillé. Je n'arrivais pas à comprendre comment définir mon hypothèse et .$H_0$$H_1$

Dans les statistiques, vous ne pouvez pas tester si "X est vrai ou non". Vous ne pouvez essayer de trouver des preuves qu'une hypothèse nulle est fausse.

Disons que votre hypothèse nulle est

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ Supposons également que vous ayez une façon d'estimer le vecteur $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ . Pour garder les choses, supposons simplement que vous avez un estimateur $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ où $\Sigma$ est une matrice de covariables $3 \times 3$ . Nous pouvons réécrire l'hypothèse nulle comme $$A \mu < 0,$$ où $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ Cela montre que votre hypothèse nulle peut être exprimée comme une restriction d'inégalité sur le vecteur$A \mu$ . Un estimateur naturel de$A\mu$ est donné par $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$ Vous pouvez maintenant utiliser le framework pour tester la contrainte d'inégalité sur des vecteurs normaux donnée dans:

Kudo, Akio (1963). «Un analogue multivarié du test unilatéral». Dans: Biometrika 50,3 / 4, pp. 403–418.

Ce test fonctionnera également si l'hypothèse de normalité ne tient que approximativement ("asymptotiquement"). Par exemple, cela fonctionnera si vous pouvez tirer des échantillons de moyennes des groupes. Si vous dessinez des échantillons de taille $n_1, n_2, n_3$ et si vous pouvez dessiner indépendamment des groupes, alors $\Sigma$ est une matrice diagonale à diagonale

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ où $\sigma_k^2$est la variance dans le groupe $k = 1, 2, 3$ . Dans une application, vous pouvez utiliser la variance d'échantillon au lieu de la variance de population inconnue sans modifier les propriétés du test.

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ $H_1: A\mu <0$ $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ $H_0$$H_0$$H_0$$\Sigma$

$H_0^2$

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ $\max Ax$

La réponse fournie par @ andreas-dzemski n'est correcte que si nous savons que les données sont normalement distribuées.

Si nous ne connaissons pas la distribution, je pense qu'il serait préférable d'exécuter un test non paramétrique. Dans ce cas, le plus simple semble exécuter un test de permutation. C'est un livre sur le sujet et c'est une bonne explication en ligne. Ci-dessous, j'inclus le code R pour calculer ce test.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))