Covariance d'une variable et d'une combinaison linéaire d'autres variables

Soit variables de séries temporelles et la covariance entre deux paires quelconques de celles-ci est connue. $X,A,B,C,D$

Supposons que nous voulons trouver , où sont des constantes. $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$ $a,b,c,d$

Existe-t-il un moyen de le faire sans développer $E[(X-E[X])(aA+......)]$ ?

correlation variance covariance
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Réponses:

Existe-t-il un moyen de le faire sans développer $E[(X-E[X])(aA+......)]$ ?

Oui. Il existe une propriété de covariance appelée bilinéarité qui est que la covariance d'une combinaison linéaire

c o v (a X + b Y, c W + d Z)

${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$

(où $a,b,c,d$ sont des constantes et $X,Y,W,Z$ sont des variables aléatoires) peut être décomposé comme

a c \cdot c o v (X, W) + a d \cdot c o v (X, Z) + b c \cdot c o v (Y, W) + b d \cdot c o v (Y, Z)

$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$

Dans l'exemple que vous avez donné, vous pouvez utiliser cette propriété pour écrire $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$ comme

a c o v (X, A) + b c o v (X, B) + c c o v (X, C) + d c o v (X, D)

$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$

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Si j'ai , puis-je toujours l'exprimer de la même manière?

c o v (X, a A + b X)

$cov(X,aA + bX)$

@Harokitty, oui. En gardant à l'esprit que , vous pouvez appliquer cette propriété pour trouver que .

c o v (X, X) = v a r (X)

${\rm cov}(X,X) = {\rm var}(X)$

c o v (X, a A + b X) = a c o v (X, A) + b v a r (X)

${\rm cov}(X,aA+bX) = a \ {\rm cov}(X,A) + b \ {\rm var}(X)$

Macro