Qu'entendait Silverman (1981) par «bande passante critique»?

Dans la sélection d'une bande passante pour un estimateur de densité de noyau, la bande passante critique selon ma compréhension est:

"Pour chaque entier k, où 1<k<n, nous pouvons trouver la largeur minimale h(k)telle que l'estimation de la densité du noyau ait au plus k maxima. Silverman appelle ces h(k)valeurs" largeurs critiques ".

Je ne comprends pas intuitivement ce concept. Toute aide serait appréciée.

Je vous remercie!

Je déteste les animations dans les pages Web, mais cette question appelle une réponse animée:

Ce sont des KDE pour un ensemble de trois valeurs (près de -2,5, 0,5 et 2,5). Leurs largeurs de bande varient continuellement, passant de petites à grandes. Regardez comme trois pics deviennent deux et finalement un.

Un KDE met une pile de «probabilité» à chaque point de données. À mesure que la bande passante s'élargit, la pile "s'effondre". Lorsque vous commencez avec des bandes passantes minuscules, chaque valeur de données contribue à sa propre pile discrète. À mesure que les bandes passantes augmentent, les piles s'affaissent et fusionnent et s'accumulent les unes sur les autres (la ligne bleue épaisse), devenant finalement une seule pile. En cours de route, les maxima changent de façon discontinue de la valeur de départ de (en supposant que le noyau a un seul maximum, ce qui est presque toujours le cas) à La largeur critique pour maxima est la première (la plus petite) largeur qui réduit le KDE à une courbe avec pas plus de maxima.$n$$1.$$k$$k$

Si vous avez une bande passante vraiment large, vous obtiendrez un pic dans votre KDE. Si vous le réduisez un peu, c'est toujours un pic. Continuez à le réduire jusqu'à ce que vous arriviez au point de basculement de l'ajout d'un deuxième pic. Cette bande passante est .$h(1)$

Maintenant, réduisez-le encore, jusqu'à ce que vous arriviez à la commutation entre deux pics et trois. C'est .$h(2)$

Et ainsi de suite.

À n'importe quelle bande passante entre et vous aurez pics dans votre KDE.$h(i-1)$$h(i)$$i$

Silverman voulait un nom pour cet ensemble de valeurs ; il les a appelés des bandes passantes critiques .$h$

Cela revient par exemple dans son test de multimodalité.