Soit $a_t$ et $b_t$ des processus de bruit blanc. Peut-on dire que $c_t=a_t+b_t$ est nécessairement un processus de bruit blanc?

Non, vous en avez besoin de plus (du moins selon la définition de Hayashi du bruit blanc). Par exemple, la somme de deux processus de bruit blanc indépendants est un bruit blanc.

Pourquoi bruit blanc t et b t est-il insuffisant pour qu'un t + b t soit un bruit blanc?$a_t$$b_t$$a_t+b_t$

D'après l' économétrie de Hayashi , un processus stationnaire de covariance est défini comme étant du bruit blanc si E [ z t ] = 0 et C o v ( z t , z t - j ) = 0 pour j ≠ 0 .$\{z_t\}$$\mathrm{E}[z_t] = 0$$\mathrm{Cov}\left(z_t, z_{t-j} \right) = 0$$j \neq 0$

Soit et { b t } des processus de bruit blanc. Définissez c t = a t + b t . Trivialement, nous avons E [ c t ] = 0 . Vérification de la condition de covariance:$\{a_t\}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$\mathrm{E}[c_t] = 0$

Appliquer que{at}et{

Donc, si est du bruit blanc, cela dépend si C o v ( a t , b t - j ) + C o v ( b t , a t - j ) = 0 pour tout j ≠ 0 .$\{c_t\}$$\mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) = 0$$j\neq 0$

Exemple où la somme de deux processus de bruit blanc n'est pas du bruit blanc:

Soit un bruit blanc. Soit b t = a t - 1 . Observez que le processus { b t } est également un bruit blanc. Soit c t = a t + b t , donc c t = a t + a t - 1 , et observons que le processus { c t } n'est pas du bruit blanc.$\{a_t\}$$b_t = a_{t-1}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$c_t = a_t + a_{t-1}$$\{c_t\}$

Encore plus simple que la réponse de @ MatthewGunn,

Considérons . Évidemment, c t ≡ 0 n'est pas un bruit blanc - il serait difficile de l'appeler tout type de bruit.$b_t = -a_t$$c_t \equiv 0$

Le point le plus large est que si nous ne savons rien de la distribution conjointe de et b t , nous ne serons pas en mesure de dire ce qui se passe lorsque nous essayons d'examiner des objets qui dépendent des deux. La structure de covariance est essentielle à cette fin.$a_t$$b_t$

Addenda:

Bien sûr, c'est exactement le but des écouteurs antibruit! - pour inverser la fréquence des bruits extérieurs et les annuler - donc, pour revenir à la définition physique du bruit blanc, cette séquence est un silence littéral . Pas de bruit du tout.

En électronique, le bruit blanc est défini comme ayant un spectre de fréquence plat («blanc») et aléatoire («bruit»). Le bruit peut généralement être contrasté avec une `` interférence '', un ou plusieurs signaux indésirables captés ailleurs et ajoutés au signal d'intérêt, et une `` distorsion '', des signaux indésirables générés par des processus non linéaires agissant sur le signal d'intérêt lui-même.

Bien qu'il soit possible que deux signaux différents aient des parties corrélées, et donc s'annulent différemment à différentes fréquences ou à des moments différents, par exemple en annulant complètement sur une certaine bande de fréquences ou pendant un certain intervalle de temps, mais sans annuler, ni même ajouter de façon constructive sur une autre bande de fréquences ou pendant un certain intervalle de temps, la corrélation entre les deux signaux suppose une corrélation, qui est exclue par l'aspect vraisemblablement aléatoire du `` bruit '', ce qui a été demandé.

Si, en effet, les signaux sont du «bruit» et donc indépendants et aléatoires, alors aucune corrélation de ce type ne devrait / n'existerait, de sorte que leur addition aura également un spectre de fréquences plat et sera donc également blanche.

De plus, de manière triviale, si les bruits sont exactement anti-corrélés, ils pourraient alors annuler pour donner une sortie nulle à tout moment, qui a également un spectre de fréquences plat, une puissance nulle à toutes les fréquences, ce qui pourrait tomber sous une sorte de définition dégénérée du blanc le bruit, sauf qu'il n'est pas aléatoire et peut être parfaitement prévu.

Le bruit dans l'électronique peut provenir de plusieurs endroits. Par exemple, le bruit de grenaille, résultant de l'arrivée aléatoire d'électrons dans un photocourant (provenant des heures d'arrivée aléatoire des photons), et le bruit de Johnson, provenant du mouvement brownien des électrons dans un élément résistif plus chaud que le zéro absolu, produisent tous deux du blanc le bruit, cependant, toujours avec une largeur de bande finie aux deux extrémités du spectre dans tout système réel mesuré sur une durée finie.

si les deux sons blancs se déplacent dans la même direction Et si leur fréquence est en phase, alors seulement ils sont ajoutés. Mais, une chose dont je ne suis pas sûr, c'est qu'après l'addition, il restera sous forme de bruit blanc ou il deviendra un autre type de son ayant une fréquence différente.