Quelle est la raison pour laquelle nous utilisons le logarithme naturel (ln) plutôt que de nous connecter à la base 10 pour spécifier une fonction en économétrie?

Quelle est la raison pour laquelle nous utilisons le logarithme naturel (ln) plutôt que de nous connecter à la base 10 pour spécifier des fonctions en économétrie?

Dans le contexte de la régression linéaire en sciences sociales, Gelman et Hill écrivent [1]:

Nous préférons les bûches naturelles (c'est-à-dire les logarithmes de base $e$ ) car, comme décrit ci-dessus, les coefficients de l'échelle des bûches naturelles peuvent être interprétés directement comme des différences proportionnelles approximatives: avec un coefficient de 0,06, une différence de 1 dans $x$ correspond à environ 6 % de différence en $y$ , et ainsi de suite.

[1] Andrew Gelman et Jennifer Hill (2007). Analyse de données à l'aide de modèles de régression et multiniveaux / hiérarchiques . Cambridge University Press: Cambridge; New York, p. 60-61.

Il n'y a pas de très bonne raison de préférer les logarithmes naturels. Supposons que nous estimons le modèle:

ln Y = a + b ln X

La relation entre les logarithmes naturel (ln) et en base 10 (log) est ln X = 2,303 log X (source) . Le modèle est donc équivalent à:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

ou en mettant a / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

Les deux formes du modèle pourraient être estimées avec des résultats équivalents.

Un léger avantage des logarithmes naturels est que leur premier différentiel est plus simple: d (ln X) / dX = 1 / X, tandis que d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (source) .

Pour une source dans un manuel d'économétrie disant que l'une ou l'autre forme de logarithme pourrait être utilisée, voir Gujarati, Essentials of Econometrics, 3e édition, 2006, p. 288.

Je pense que le logarithme naturel est utilisé car l’exponentielle est souvent utilisée lors du calcul des intérêts / croissance.

$F(t)=N.e^{rt}$

Comme vous vous retrouvez avec des calculs exponentiels, le meilleur moyen de vous en débarrasser consiste à utiliser le logarithme naturel. Si vous effectuez l'opération inverse, le journal naturel vous donnera le temps nécessaire pour atteindre une certaine croissance.

En outre, l’avantage des logarithmes (qu’ils soient naturels ou non) est que vous pouvez transformer les multiplications en additions.

En ce qui concerne les explications mathématiques sur les raisons pour lesquelles nous utilisons une exponentielle lorsque l’intérêt est composé, vous pouvez la trouver ici: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

Fondamentalement, vous devez vous limiter à un nombre infini de paiements de taux d’intérêt, ce qui finit par être la définition du terme exponentiel.

Même si l’on pense que le temps continu n’est pas très utilisé dans la vie réelle (vous payez vos hypothèques avec des mensualités, pas toutes les secondes ..), ce type de calcul est souvent utilisé par les analystes quantitatifs.

Une raison supplémentaire pour laquelle les économistes aiment utiliser les régressions avec des formes fonctionnelles logarithmiques est une raison économique: les coefficients peuvent être compris comme les élasticités d'une fonction de Cobb-Douglas. Cette fonction est probablement la plus utilisée par les économistes pour analyser les problèmes de comportement microéconomique (préférences des consommateurs, technologie, fonctions de production) et les problèmes macroéconomiques (croissance économique). Le terme d'élasticité est utilisé pour décrire le degré de réponse d'un changement d'une variable par rapport à une autre.

$e^{-{1\over2}x^2}$

La seule raison est que l' extension de Taylor donne une interprétation intuitive du résultat.

$$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$$ $\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

$$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$$ Étant donné que le taux de croissance du PIB est généralement faible, par exemple pour les États-Unis autour de 2% récemment, nous pouvons abandonner tous les termes d'ordre plus élevé que nous obtenons: $$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$$

Ainsi, si vous utilisez les différences de logarithme du PIB dans la partie droite de l'équation, par exemple en tant que variable explicative dans la régression, vous pouvez avoir les éléments suivants:

$$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$$ qui peut être interprété comme "$\beta$ fois le pourcentage de variation du PIB. "

Les économistes aiment les variables qui peuvent être interprétées facilement. Si vous avez branché la base de journaux différente, la possibilité d'interprétation est plus faible. Par exemple, voyez ce qui arrive à la base de journaux 10:

$$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$$ This still works, but now you need to divide $\beta$ by some unintuitive number to get the "percentage change" effect interpretation.

There is a good reason to use the log transformation of the variable if you think that the inverse function of logarithm is the exponential function which is a continuous version of conpounding. The economic variable which is growing around 10% at a time can be transformed to the variable with its mean around 10 (plus a constant). You cannot do that with the transformation of logarithm of different base.