Description générale
Un estimateur efficace (dont la variance d'échantillon est égale à la borne de Cramér – Rao) maximise-t-il la probabilité d'être proche du vrai paramètre ?
Disons que nous comparons la différence ou la différence absolue entre l'estimation et le vrai paramètre
La distribution de pour un estimateur efficace est-elle stochastiquement dominante sur la distribution de pour tout autre estimateur sans biais?
Motivation
Je pense à cela à cause de la question Estimateur qui est optimale sous toutes les fonctions de perte (évaluation) sensibles où nous pouvons dire que le meilleur estimateur sans biais par rapport à une fonction de perte convexe est également le meilleur estimateur sans biais par rapport à une autre fonction de perte (De Iosif Pinelis, 2015, Une caractérisation des meilleurs estimateurs sans biais. ArXiv preprint arXiv: 1508.07636 ). La dominance stochastique pour être proche du vrai paramètre semble être similaire à moi (c'est une condition suffisante et une affirmation plus forte).
Expressions plus précises
L'énoncé de la question ci-dessus est large, par exemple quel type d'impartialité est considéré et avons-nous la même mesure de distance pour les différences négatives et positives?
Considérons les deux cas suivants pour rendre la question moins large:
Conjecture 1: Si est un estimateur efficace moyen et sans biais médian. Alors pour tout estimateur moyen et sans biais où et
Conjecture 2: Si est un estimateur efficace sans biais moyen. Alors pour tout estimateur sans biais et
- Les conjectures ci-dessus sont-elles vraies?
- Si les propositions sont trop fortes, peut-on les adapter pour que ça marche?
Le second est lié au premier mais supprime la restriction pour la médiane non biaisée (et ensuite nous devons prendre les deux côtés ensemble sinon la proposition serait fausse pour tout estimateur qui a une médiane différente de l'estimateur efficace).
Exemple, illustration:
Considérons l'estimation de la moyenne de la distribution d'une population (qui est supposée être distribuée normalement) par (1) la médiane de l'échantillon et (2) la moyenne de l'échantillon.
Dans le cas d'un échantillon de taille 5, et lorsque la vraie distribution de la population est cela ressemble à
Dans l'image, nous voyons que le CDF plié de la moyenne de l'échantillon (qui est un estimateur efficace pour ) est inférieur au CDF plié de la médiane de l'échantillon. La question est de savoir si le CDF plié de la moyenne de l'échantillon est également inférieur au CDF plié de tout autre estimateur sans biais.
Alternativement, en utilisant le CDF au lieu des CDF pliés, nous pouvons nous demander si le CDF d'une moyenne maximise la distance de 0,5 en chaque point. Nous savons que
avons-nous également ceci lorsque nous remplaçons pour la distribution de tout autre estimateur moyen et sans biais médian?
la source
Pitman nearness
mot - clé, pas que je trouve ce critère particulièrement judicieux.Réponses:
Voici une expérience dans un cas non standard, le problème de localisation de Cauchy, où non standard signifie qu'il n'y a pas d'estimateur sans biais uniformément meilleur. Considérons un échantillon d'une distribution de Cauchy et les quatre estimateurs invariants suivants de :(X1, … ,XN) C( μ , 1 ) μ
La comparaison des cdfs des quatre estimateurs conduit à cette image, où les cdfs deμ^3 (or) et (tomate) sont comparables et améliorent (steelblue), s'améliorant lui-même sur (sienna).
μ^4 μ^1 μ^2
Une représentation des différences par rapport au cdf empirique du MLE le rend plus clair:
Voici le code R correspondant:
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