(Cette question est inspirée de ce commentaire de Xi'an .)
Il est bien connu que si la distribution précédente est correcte et que la probabilité est bien définie, alors la distribution postérieure est presque sûrement propre.
Dans certains cas, nous utilisons plutôt une probabilité tempérée ou exponentiée, conduisant à une pseudo-postérieure
α>0
pour certains (par exemple, cela peut avoir des avantages de calcul).
Dans ce contexte, est-il possible d'avoir un a priori correct mais un pseudo-postérieur incorrect?
Réponses:
Pour , c'est peut-être un argument pour montrer qu'il est impossible de construire un tel postérieur?α≤1
Nous aimerions savoir s'il est possible pour .∫π~(θ|x)dθ=∞
Sur le RHS:
Si , est une fonction concave, donc par l'inégalité de Jensen:α≤1 xα
... où comme Xi'an l'a souligné, est la constante de normalisation (l'évidence).m(x)
la source
Il est possible d'utiliser le résultat dans la réponse de @ InfProbSciX pour prouver le résultat en général. Réécrivez en Si , nous avons le cas d'inégalité de Jensen ci-dessus, car nous savons que est normalisable. De même, si , on peut écrire avec , tombant à nouveau dans le même cas, puisque nous savons que est normalisable. Maintenant, on peut utiliser l'induction (forte) pour montrer le cas en général.L(θ∣x)απ(θ) L(θ∣x)α−1L(θ∣x)π(θ). 1≤α≤2 L(x|θ)π(θ) 2≤α≤3 L(x|θ)α−pL(x|θ)pπ(θ), 1≤p≤2 L(x|θ)pπ(θ)
Vieux commentaires
Je ne sais pas si c'est super utile, mais comme je ne peux pas commenter, je vais laisser cela dans une réponse. En plus de l'excellente remarque de @ InfProbSciX sur , si l'on fait l'hypothèse supplémentaire que , alors il est impossible d'avoir un bon avant mais un pseudo-postérieur incorrect pour . Par exemple, si nous savons que le deuxième ( ème) moment de existe, nous savons qu'il est dans ( ) et donc le pseudo-postérieur sera propre à . Section 1 de ces notesα≤1 L(θ∣x)∈Lp 1<α≤p p L(θ∣x) L2 Lp 0≤α≤2 va dans un peu plus de détails, mais malheureusement, il n'est pas clair à quel point la classe de, disons, pdfs est large. Je m'excuse si je parle ici à contre-courant, je voulais vraiment laisser cela comme un commentaire.L10
la source