Comment la famille de distributions avec PDF est-elle proportionnelle à

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Considérons une famille de distributions avec PDF (jusqu'à une constante de proportionnalité) donnée par Comment ça s'appelle? S'il n'a pas de nom, comment l'appelleriez-vous?

p(x)1(1+αX2)1/α.

Il ressemble assez à la famille des distributions avec PDF proportionnel à p (x) \ sim \ frac {1} {(1+ \ frac {1} {\ nu} x ^ 2) ^ {(\ nu + 1 ) / 2}}.t

p(X)1(1+1νX2)(ν+1)/2.

Lorsque α=ν=1 nous avons une distribution t avec 1 df, alias distribution de Cauchy. Lorsque α0 ou ν , nous obtenons la distribution gaussienne.

Cette famille de distributions apparaît dans Yang et al., Heavy-Tailed Symmetric Stochastic Neighbour Embedding, NIPS 2009 , mais ils n'utilisent aucun nom pour s'y référer.

amibe
la source
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mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html . Je dirais que c'est une forme de distribution t échelonnée en définissant les valeurs correspondantes à v et à l'échelle.
Cagdas Ozgenc
Merci @CagdasOzgenc (+1). Tu as raison. Glen_b a développé cela dans une réponse.
amoeba
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Dans le cas où vous ne le connaissez pas, mgcv::gampermet la spécification d'un T échelonné comme réponse lors de l'utilisation gam( family= "scat", ... ).
usεr11852

Réponses:

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C'est simplement une échelle particulière t-distribution - un t-distribution avec une variance différente de la norme t-Distribution.

Laisser ν=2α-1. Laisserσ=2-αα.

Alors (si je l'ai bien fait) Oui=X/σ est une norme t avec ν df


Voici comment s'est déroulé mon raisonnement:

FOui(y)=c1(1+y2ν)(ν+1)/2
est une norme t-densité.

Nous obtenons la famille d'échelle en laissant X/σ=Oui, dans quel cas

FX(X)=1σFOui(Xσ)=cσ1(1+X2σ2ν)(ν+1)/2
est une échelle t-densité.

Équilibrez simplement les coefficients de votre densité et résolvez ν et σ.

Reconnaître qu'un paramètre d'échelle prendra tout ce qui n'est pas "correct" dans αX2 (étant donné que ν est déjà défini par la mise en équivalence des pouvoirs) était tout ce qui était nécessaire pour voir qu'il est mis à l'échelle t; l'algèbre n'a pas été nécessaire jusqu'à ce qu'il soit temps de trouver réellement les paramètres de lat.


[Note finale: dans le cas où il n'est pas évident qu'une famille d'échelles a la forme FX(X)=1σFOui(Xσ), prenez la déclaration de probabilité FX(X)=FOui(Xσ) (notant que l'événement X/σt est identique à l'événement Ouit) et différencier.]

Glen_b -Reinstate Monica
la source
Il est intéressant de noter que cette conversion tombe en panne lorsque α2. Je suppose que c'est parce que le PDF à l'échelle divergera lorsqu'il sera intégré à la ligne réelle, non?
amoeba
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Oui. Par exemple àα=2 vous avez quelque chose qui approche k/|X|dans les queues, et donc les deux moitiés de la divergence intégrale. Eh bien, cet argument est un peu vague, mais vous pouvez le resserrer assez facilement.
Glen_b -Reinstate Monica
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@amoeba Notez que vuner=σ2vv-2. J'utilise cette distribution fréquemment pour l'estimation de la volatilité dans les séries chronologiques financières.
Cagdas Ozgenc