Quelles formes distributionnelles donnent «l'attente pythagoricienne»?

Soit et des variables aléatoires continues indépendantes générées à partir de la même forme de distribution non spécifiée mais en compte de différentes valeurs de paramètres. Je souhaite trouver un formulaire de distribution paramétrique pour lequel la probabilité d'échantillonnage suivante s'applique à toutes les valeurs de paramètres autorisées:Y ∼ Dist ( θ Y$X \sim \text{Dist}(\theta_X)$$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Ma question: quelqu'un peut-il me dire une forme de distribution continue pour laquelle cela vaut? Y a-t-il des conditions générales (non triviales) qui conduisent à cela?

Mes réflexions préliminaires: si vous multipliez les deux paramètres par une constante non nulle, la probabilité reste inchangée, il est donc logique que soit une sorte de paramètre d'échelle.$\theta$

Si nous prenons deux variables aléatoires exponentielles nous obtenons cela et Maintenant, si puisP ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ X∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

Une question plus intéressante est de savoir si c'est le seul cas de distribution possible pour lequel cela fonctionne. (Par exemple, c'est le seul élément de la famille Gamma pour lequel il fonctionne.) En supposant une structure de famille d'échelle, un nécessaire et suffisant sur la densité sous-jacente de et est que X Y ∫ ∞ 0$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

Mais la réponse générique est non: comme indiqué dans la réponse de @soakley , cela fonctionne également pour Weibulls, ce qui n'est pas une surprise puisque pour tous (et Weibulls sont des puissances d'exponentielles). Une classe d'exemples plus générale est ainsi fournie par pour toutes les fonctions strictement croissantes , où sont des exponentielles comme ci-dessus, depuis lors nous avonsα > 0 X ′ = ϕ ( X

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

Si est Weibull ( α , β 1 ) et Y est un Weibull indépendant ( α , β 2 ) , où alpha est le paramètre de forme et les bêtas sont des paramètres d'échelle, alors on sait que$X$$\left( \alpha,\beta_1 \right)$$Y$$\left( \alpha, \beta_2 \right)$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

Cela peut être dérivé en suivant la même approche que celle donnée dans la réponse de Xi'an.

Maintenant , nous pour les et . Si a le paramètre d'échelle et a le paramètre d'échelle nous avons$\alpha=2$$X$$Y$$X$$\theta_X$$Y$$\theta_Y,$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$