La somme de la combinaison linéaire du produit des exponentielles est exponentielle

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Ce problème est apparu dans mes recherches: supposons que ViED sont les distributions exponentielles iid (ED) avec la moyenne 1 et laisse λêtre un nombre non négatif. Est-il vrai que

k=0λkeλV0Vkk!ED?
Cela passe le test de santé mentale, car la valeur attendue des deux côtés est égale à 1et si on laisse λ=0, alors le côté gauche est égal à V0, qui est exponentielle. À part cela, je ne sais pas comment aborder ce problème, car je ne sais pas comment traiter le produit des DE.
Alex
la source
comment garantissez-vous que c'est une vraie déclaration?
Zhanxiong
@Zhanxiong Je ne sais pas vraiment si c'est vrai, c'est pourquoi je demande si quelqu'un peut fournir une preuve (ou la réfuter si elle est fausse.)
Alex
ok, alors vous devriez éviter d'utiliser "prouver que"
Zhanxiong
Mon mauvais, j'ai édité la question.
Alex
Est λle même paramètre taux / moyenne pour les VR exp?
AdamO

Réponses:

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Pas une réponse complète, désolé, mais quelques idées (trop de temps pour un commentaire). Notez que ce que vous avez est un produit deK+1 iid variables aléatoires, où K est une variable aléatoire (rv) avec une distribution de poisson avec paramètre λ. Cela peut être utilisé pour un autre "contrôle de santé mentale", une simulation (en utilisant des exponentielles de taux 1):

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

Le résultat qqplot(non illustré ici) est loin d'être une ligne droite, donc cela ne semble pas être une exponentielle de taux 1. La moyenne est juste, la variance à grande, il y a une queue droite beaucoup plus longue que pour une exponentielle. Que peut-on faire théoriquement? La transformée de Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform est adaptée aux produits de variables aléatoires indépendantes. Je vais calculer uniquement pour l'exponentielle de taux 1. La transformée de Mellin deV0 alors c'est

M1(s)=EV0s=0xsexdx=Γ(s+1)
de sorte que la transformation de Mellin d'un produit de k+1 exponentielles iid est
Mk+1(s)=Γ(s+1)k+1
Depuis K a une distribution de poisson avec paramètre λ, la transformée de Mellin du produit aléatoire d'un nombre aléatoire K+1 facteurs, est
M(s)=EMK+1(s)=EΓ(s+1)K+1=Γ(s+1)eλk=0λkk!Γ(s+1)k=eλΓ(s+1)eλΓ(s+1)
mais je ne trouve pas d'inverse de cette transformation. Mais notez que siX est une variable aléatoire non négative avec transformée de Mellin MX(t), puis définissant Y=logX nous constatons que
KY(t)=EetY=EetlogX=Eelog(Xt)=EXt=MX(y)
de sorte que la transformation de Mellin X est la fonction de génération de moment de son logarithme Y. Donc, en utilisant cela, nous pouvons approximer la distribution deXavec les méthodes d'approximation de saddlepoint, comment fonctionne l'approximation de saddlepoint? et recherchez ce site.
kjetil b halvorsen
la source
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(+1) Même le produit de deux exponentielles n'a pas de densité de forme fermée.
Xi'an
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il y avait un article en SE montrant qu'un produit de trois exponentielles n'avait pas de moments ou quelque chose du
genre
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Merci kjetil. J'étais à peu près sûr que la réponse était non aussi, mais ce sont de très bonnes raisons pour lesquelles.
Alex
1
@Aksakal: le produit de kl'exponentielle indépendante a tous les moments finis.
Xi'an
1
... et le produit V0Vkcomme converge vers zéro.
Xi'an