Preuves de premier cycle du théorème de Pitman – Koopman – Darmois

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Le théorème de Pitman – Koopman – Darmois dit que si un échantillon iid d'une famille paramétrée de distributions de probabilité admet une statistique suffisante dont le nombre de composantes scalaires ne croît pas avec la taille de l'échantillon, alors c'est une famille exponentielle.

  • Existe-t-il des manuels ou des documents d'expositions élémentaires?
  • Pourquoi porte-t-il le nom de ces trois personnes?
mathematical-statistics references Michael Hardy
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Réponses:

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La raison pour laquelle le lemme est appelé Pitman-Koopman-Darmois est, sans surprise, que les trois auteurs ont établi des versions similaires du lemme, indépendamment à peu près au même moment:

  • Darmois, G. (1935) Sur les lois d'expériences à estimation exhaustive, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 200, 1265-1266.
  • Koopman, BO (1936) Sur les distributions admettant une statistique suf fi sante, Transactions de l'American Mathematical Society , vol. 39, n ° 3. [link]
  • Pitman, EJG (1936) Statistiques suffisantes et précision intrinsèque, Actes de la Cambridge Philosophical Society , 32, 567-579.

à la suite d'un résultat unidimensionnel

  • Fisher, RA (1934) Deux nouvelles propriétés de la probabilité mathématique, Actes de la Royal Society , série A, 144, 285-307.

Je ne connais pas de preuve non technique de ce résultat. Une preuve qui n'implique pas d'arguments complexes est celle de Don Fraser (p.13-16), basée sur l'argument selon lequel la fonction de vraisemblance est une statistique suffisante, avec une valeur fonctionnelle. Mais je trouve l'argument contestable parce que les statistiques sont de vrais vecteurs qui sont des fonctions de l'échantillon , pas des fonctionnelles (transformées à valeur de fonction). En modifiant la nature de la statistique, Don Fraser modifie la définition de suffisance et donc la signification du lemme Darmois-Koopman-Pitman.x

Xi'an
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+1. Nitpick sur le papier Koopman lié dans le paragraphe suivant Eq. (6) prouver le jacobien qui disparaît partout: le voisinage de ne doit pas être choisi arbitrairement uniquement pour que le jacobien soit non nul. Elle doit être argumentée localement pour chaque point plutôt que localement. L'existence (définie) du différentiel non nul à ce point garantit qu'il existe un voisinage suffisamment petit de ce point tel que le côté gauche de l'équation. (5) dans ce quartier autre que ce point est toujours distinct de celui de ce point. (x10,x20,x30)
Hans
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Il n'est pas vrai qu'un jacobien non nul mène à des valeurs uniques globales dans un domaine (variété), comme cela est impliqué dans l'article. Ce n'est vrai que localement. De plus, la dimensionnalité n'est pas préservée par l'homéomorphisme comme le prétend la dernière phrase de ce paragraphe, mais plutôt par le difféomorphisme local, ce qui est le cas ici.
Hans