Test d'hypothèse sur la matrice de covariance inverse

Supposons que j'observe iid et que je souhaite tester vech pour a matrice conformable et vecteur . Existe-t-il des travaux connus sur ce problème? $x_i \sim \mathcal{N}\left(\mu,\Sigma\right)$ $H_0: A\$ $\left(\Sigma^{-1}\right) = a$ $A$ $a$

La tentative évidente (pour moi) serait via un test de rapport de vraisemblance, mais il semble que maximiser la probabilité soumise aux contraintes de nécessiterait un solveur SDP et pourrait être assez velu. $H_0$

hypothesis-testing normal-distribution multivariate-analysis maximum-likelihood covariance shabbychef
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Avez-vous des contraintes supplémentaires sur ? Si est inversible, alors . Le problème équivaut donc à un problème bien connu: celui de tester si . Ici (rappelez-vous que détermine uniquement).

A

$A$

A

$A$

H_{0} = v e c h (Σ^{- 1}) = A^{- 1} a

$H_0=\rm{vech}(\Sigma^{-1})=A^{-1}a$

Σ^{- 1} = B

$\Sigma^{-1}=B$

v e c h (B) = A^{- 1} a

$\rm{vech}(B)=A^{-1}a$

v e c h (B)

$\rm{vech}(B)$

B

$B$

MånsT

@ MånsT; malheureusement, je m'intéresse au cas général. Typiquement, aura environ 10 lignes et 400 colonnes environ.

A

$A$

shabbychef

Une chose que je me demande à propos de ce problème concerne la faisabilité. Il est évident qu'il est facile de trouver des paires telles qu'aucune matrice semi-définie positive ne puisse satisfaire les contraintes. Il est potentiellement plus gênant pour un test de rapport de vraisemblance qu'il semble qu'il puisse y avoir des cas dans lesquels même lorsque l'hypothèse nulle était vraie, avec une probabilité élevée, on obtient une instance de problème irréalisable. Peut-être que cette dernière partie se trompe cependant. (+1) Vous avez tendance à poser des problèmes intéressants et difficiles. J'aime les lire et y réfléchir un peu.

(A, a)

$(A,a)$

cardinal

@cardinal Bonne prise! Je n'y avais pas pensé car, dans l'application que je considère, l'hypothèse nulle ne limite que les éléments non diagonaux de (les colonnes correspondantes de sont toutes nulles). Étant donné que la diagonale peut être arbitrairement grande, je peux garantir la faisabilité.

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

A

$A$

shabbychef

Beran et Srivastava (1985, Annals of Statistics) ont présenté un article dans lequel ils proposaient une approche bootstrap générale pour appliquer une rotation à la matrice de covariance qui la faisait correspondre à la distribution sous le zéro. Le point de @ cardinal sur l'existence d'une telle matrice est cependant très pertinent ici. Vous devez être en mesure de trouver au moins une sorte d'approximation pour une matrice qui satisfait les contraintes que vous imposez sous le null.

Chen, Variyath et Bovas ont publié un article sur la similarité empirique ajustée où ils ont démontré comment il peut être utilisé pour tester une structure plutôt étrange sur la matrice de covariance. Je pense que ce document a finalement été publié dans CJS.

StasK
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Je ne suis pas sûr de pouvoir les traduire facilement en une solution à mon problème, mais ce sont deux lectures fascinantes. +1.

shabbychef

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