Supposons que nous ayons 3 variables aléatoires , et nous connaissons la distribution marginale par paire , mais nous ne savons rien d'autre (comme comme indépendance conditionnelle). Pouvons-nous obtenir la distribution conjointe ?
Non.
Considérons une distribution trivariée avec des marges normales bivariées (standard, indépendantes), mais avec la moitié des octants ayant une probabilité nulle et la moitié ayant une probabilité double. Plus précisément, considérons que les octants ---, - ++, + - +, ++ - ont une double probabilité.
Ensuite, les marges bivariées sont indiscernables de celle que vous obtiendriez avec trois variables normales standard iid. En effet, il existe une infinité de distributions trivariées qui produiraient les mêmes marges bivariées
Comme le souligne Dilip Sawarte dans ses commentaires, il a discuté essentiellement du même exemple dans une réponse (mais en inversant les octants qui sont doublés et mis à zéro), et le définit de manière plus formelle. Whuber mentionne un exemple impliquant Bernoulli varie qui (dans le cas trivarié) ressemble à ceci:
X3=0 X1 X3=1 X1
0 1 0 1
0 1/4 0 0 0 1/4
X2 X2
1 0 1/4 1 1/4 0
... où chaque marge bivariée serait
Xi
0 1
0 1/4 1/4
Xj
1 1/4 1/4
et serait donc équivalent au cas de trois variables indépendantes (ou même à trois avec exactement la forme inverse de la dépendance).
Un exemple étroitement lié que j'ai commencé à écrire au début impliquait un uniforme trivarié avec des «tranches» alternées dans un motif en damier de probabilité plus grande et plus faible (généralisant le zéro et le double habituels).
Vous ne pouvez donc pas calculer le trivariat à partir des marges bivariées en général.