Propriété à somme nulle de la différence entre les données et la moyenne

Je suis nouveau dans les études statistiques et sur ce site et je suis tombé sur la "propriété à somme nulle" dans mon livre concernant la moyenne. Cela semble être simple, mais je ne comprends toujours pas la notion. La seule information qu'il donne avec la formule est

la somme de la différence entre chaque valeur d'une variable $Y$, c'est noté $Y_i$et la valeur moyenne de $Y$, noté comme $\bar Y$, est égal à zéro.

Quelqu'un pourrait-il mieux expliquer le concept?

Vous avez déjà des réponses plus formelles. Cette réponse devrait vous donner une certaine «intuition» derrière les mathématiques.

La moyenne arithmétique est sensible à vos données (y compris les valeurs aberrantes) . Imaginez un levier , comme celui illustré ci-dessous. Vos données sont les boules oranges qui reposent sur un faisceau (imaginez qu'il s'agit d'un axe x d'une sorte de tracé et vos données sont des valeurs dispersées autour de lui à différentes positions). Pour que la tige soit en position horizontale, la charnière doit être placée dans un endroit qui équilibre les billes. Vous vous souvenez de la physique élémentaire (ou simplement des expériences de jeu de votre enfance), que le placement des boules joue un rôle dans leur influence sur le levier. Les boules "périphériques", comme nous les appelons dans les statistiques, ont une influence beaucoup plus grande que les boules encombrées autour du "centre". La moyenne est la valeur qui place la charnière dans la position exacte qui rend le levier équilibré.

On peut donc dire que la moyenne se situe au centre, entre les valeurs. Le centre est défini en termes de distances (c'est-à-dire de différences) entre les points et la moyenne. Puisqu'il est au centre, alors nous nous attendrions à ce que les distances soient équilibrées, c'est-à-dire qu'elles se mettent à zéro, donc la somme des distances doit être nulle et la moyenne a cette propriété (et seulement la moyenne).

Vérifiez également la moyenne arithmétique associée . Pourquoi ça marche? fil sur math.stackexchange.com.

laisser $y_1,y_2, \dots, y_n$ être $n$ valeurs d'observation d'une variable $Y$ et laisse $\overline{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$indiquent la moyenne arithmétique des observations. La propriété à somme nulle peut s'écrire mathématiquement comme suit:

$$0 = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}).$$ Preuve: par définition de$\overline{y}$ on a $n\overline{y} = n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n y_i$ et donc: $$\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i - n \overline{y} =n \overline{y} - n \overline{y}= 0.$$ Interprétation: Notez que$(y_i - \overline{y})$ est essentiellement la "distance" entre l'observation $y_i$ et la moyenne arithmétique $\overline{y}$ où l'information, que l'observation soit plus petite ou plus grande que la moyenne arithmétique, est toujours préservée par le signe de $(y_i - \overline{y})$ (bien sûr, la distance elle-même devrait être non négative et serait $|y_i-\overline{y}|$).

La propriété de somme nulle peut alors être interprétée, que la moyenne arithmétique est le nombre $\overline{y}$ de telle sorte que les valeurs d'observation de $Y$ qui sont plus petits que $\overline{y}$ et les valeurs de $Y$ qui sont plus grands que $\overline{y}$ garder en équilibre, c'est à dire qu'ils résument à zéro.

En fait, il est facile de voir à partir de la preuve que c'est le seul numéro pour lequel cette propriété détient.

Vous pouvez évidemment utiliser cette propriété pour vérifier si les calculs de la moyenne sont corrects.

Verba docent exempla trahunt.

Seneka

Prenez trois nombres: 1, 2 et 3.

La valeur moyenne est 2

Les différences entre les valeurs et une moyenne sont:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

La somme de ces différences est

-1 + 0 + 1 = 0

La propriété à somme nulle indique que, quel que soit le nombre par lequel vous commencez, un résultat (somme des différences entre eux et leur moyenne) serait 0

Voici une petite preuve générale simple et pratique du résultat $\sum (x_i - \overline{x}) = 0$

Prenons la séquence des nombres:

$$x_1,x_2,x_3,...,x_n$$ nous reconnaissons que la moyenne de cet ensemble de nombres peut être indiquée par, $$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$ Revenons au LHS de la déclaration d'origine $\sum (x_i - \overline{x})$ nous pouvons l'écrire en entier comme suit: $$\sum (x_i - \overline{x}) = \Bigl(x_1-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_2-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_3-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) +...+\Bigl(x_n-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl)$$ Cela peut être simplifié jusqu'à 0 dans les étapes suivantes: $$x_1+x_2+x_3+...+x_n-\Bigl(\frac{n\sum x_i}{n}\Bigl)$$ $$\sum x_i-\sum x_i$$ $$=0$$