Comment puis-je prouver que la fonction de distribution cumulative est droite en continu?

J'ai appris dans mes cours de probabilité que la fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire est continue droite. Est-il possible de le prouver?$F$$X$

Pour prouver la bonne continuité de la fonction de distribution, vous devez utiliser la continuité par le dessus de $P$ , que vous avez probablement prouvée dans l'un de vos cours de probabilité.

Lemme. Si une séquence d'événements $\{A_n\}_{n\geq 1}$ diminue, dans le sens où $A_n\supset A_{n+1}$ pour chaque $n\geq 1$ , alors $P(A_n)\downarrow P(A)$ , dans laquelle $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$ .

Utilisons le lemme. La fonction de distribution est continue droite à un certain point si et seulement si pour chaque séquence décroissante de nombres réels telle sorte que nous avons .$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

Définissez les événements , pour . Nous prouverons que$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

Dans un sens, si pour chaque , depuis , nous avons .$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

Dans l'autre sens, si , puisque pour chaque , on a , pour chaque .$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

En utilisant le lemme, le résultat suit:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$