Deux variables aléatoires normales normales sont-elles toujours indépendantes?

J'ai appris que la distribution normale standard est unique car la moyenne et la variance sont fixées à 0 et 1 respectivement. Par ce fait, je me demande si deux variables aléatoires standard doivent être indépendantes.

La réponse est non. Par exemple, si est une variable aléatoire standard, alors Y = - X suit les mêmes statistiques, mais X et Y sont clairement dépendants.$X$$Y=-X$$X$$Y$

Non, il n'y a aucune raison de croire que deux gaussiens standard sont indépendants.

Voici une construction mathématique simple. Supposons que et Y sont deux variables normales standard indépendantes. Ensuite, la paire$X$$Y$

sont deux variables normales standard dépendantes . Donc, tant que leur sont deux indépendants variables normales, il doit y avoir deux dépendants les.

La deuxième variable est normale car toute combinaison linéaire de variables normales indépendantes est à nouveau normale. Le est là pour rendre la variance égale à1.$\sqrt{2}$$1$

Intuitivement, ceux-ci sont dépendants car connaître la valeur de vous donne des informations supplémentaires que vous pouvez utiliser pour prédire la valeur de la deuxième variable. Par exemple, si vous savez que X = x , l'attente conditionnelle de la deuxième variable est$X$$X = x$

Voici une réponse assez large:

$X,Y$$a,b$$a X + bY$$X$$Y$$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

Comment pouvez-vous générer des variables aléatoires normales standard qui ne sont pas indépendantes? Choisissez votre matrice préférée de la forme telle que ( λ - 1 ) 2 - p 2 a des racines positives dans λ . Ensuite, appliquez le Cholesky à une décomposition Σ = R R T . Ensuite, prenez deux variables aléatoires normales normales indépendantes U , V puis le vecteur R [ U V$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$$(\lambda-1)^2 - p^2$$\lambda$$\Sigma= R R^T$$U,V$$R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$$p=0$.

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$.

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$.